| 研究課題/領域番号 |
19K03674
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| 研究機関 | 中央大学 |
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研究代表者 |
香取 眞理 中央大学, 理工学部, 教授 (60202016)
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| 研究期間 (年度) |
2019-04-01 – 2024-03-31
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| キーワード | 行列式点過程 / 双対性 / 極限定理 / ガウス自由場 / 多重シュラム・レヴナー発展 / ランダム行列理論 |
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| 研究実績の概要 |
（１）白井朋之氏（九大IMI)との共同研究により、フェルミオン点過程（行列式点過程：DPP)の一般論とその応用について研究を行った。Soshnikovと白井・高橋により、局所トレースクラスの有界自己共役演算子 K がありそれが恒等演算子と零演算子で上下から挟まれるとき、DPPが（ある種の同値類の意味で）一意的に存在することが証明されている。我々は、K が直交射影である場合を扱った。２つのヒルベルト空間を考え、その一方から他方への写像を W, 逆写像を W* と記す。我々はまず、W が等長写像であり、かつ W と W* の両方が局所ヒルベルト・シュミット演算子であれば、W から DPP を生成する直交射影 K が得られることを証明した。さらに、パラメータに関して正規直交条件を満たす関数系があり、パラメータ空間におけるノルムを（DPPが定義される）実空間の関数として見たときそれが局所 L2 クラスにあれば、この関数系から上述の条件を満たす写像 W が得られることを示した。ヒルベルト空間の間の等長写像 W から直交射影 K を作る我々の一般論により、異なる DPP の間の非自明な双対性と、DPP に対する表現の多様性を議論した。また、正規直交関数系による具体的な W の構成法の有用性を多くの事例を挙げることによって示した。
（２）白井氏との上記の共同研究の応用として、2次元以上の高次元空間における DPP の極限定理を証明した。その結果、DPPの普遍クラスとして複素構造を有するハイゼンベルク型と有しないユークリッド型の２つが存在することを予想した。
（３）越田真史氏（中大学振PD）との共同研究により、ガウス自由場と多重シュラム・レヴナー発展（SLE）との結合系を定義した。
（４）遠藤大樹氏（中大大学院生）との共同研究により、Marcenko-Pastur 則の3変数拡張を行った。
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| 現在までの達成度 (区分) |
現在までの達成度 (区分)
1: 当初の計画以上に進展している
理由
（１）本研究課題の中心的存在であるフェルミオン点過程（行列式点過程：DPP)に関しては、白井朋之氏（九大IMI)との共同研究により、大きな進展があった。当初から等長写像の重要性をDPPの双対性との関係から意識していたが、その等長写像を具体的に構成するための正規直交関数系の特徴づけに関しては、研究を進める過程で新しい知見を得ることができた。また、異なるDPPの間の双対性だけでなく、一つの DPP に対する表現の多様性を議論する上でも、我々の新しい定式化が有効であることを認識することができた。
（２）本研究課題のもう一つの中心的存在である SLE 曲線に関しては、学振PDとして私の研究室に所属している越田真史氏との共同研究により、当初の計画以上に研究が進展した。近年、Sheffield や Miller らが1本の SLE 曲線とガウス自由場との結合系を研究しているが、越田氏との共同研究はこれを複数の曲線を生成する多重 SLE に拡張する試みである。SLE は複素平面上の領域内の共形不変な確率過程（あるいは共形変換の確率過程）であるが、それは複素領域の境界上の1次元1粒子ブラウン運動で駆動される。これを多重 SLE に拡張するには、1次元上の駆動確率過程として多粒子系を適切に選ぶ必要がある。今回の越田氏との共同研究で、多重 SLE をガウス自由場と結合させて（確率法則として）定常な確率場を構成すると、多粒子系が自然と選択されることが分かった。その上、この多粒子系はランダム行列理論でこれまでよく研究されてきたもの、すなわち、エルミート対称性をもつランダム行列の固有値過程として実現されるダイソン模型とその変形であることが分かった。
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| 今後の研究の推進方策 |
（１）今後、フェルミオン点過程（行列式点過程：DPP）自身の共形不変性について研究を進める。これは、本研究課題の対象である共形不変 SLE 曲線の研究との関連から動機づけられたものである。共形不変な DPP としてこれまで知られているものは Peres と Virag によって研究された、円盤上のガウス型ランダム解析関数（係数がそれぞれ独立に複素ガウス分布に従うテイラー級数）の零点分布として得られるDPPに限られている。今後、白井朋之氏（九大IMI)との共同研究により、Peres-Virag の研究を拡張することを行う。
（２）行列式点の拡張として Cayley や Gegenbauer が超行列式を定義している。これに対応して、Evans-Gottlieb らは超行列式点過程を導入している。本研究課題でも、この方向の拡張を試みる。
（３）DPP の q-拡張や楕円関数拡張を研究する。以上の3項目の研究課題は、相互に関連が深いことが分かり始めた。これを明らかにする。
（４）ランダム行列理論で研究されてきた多粒子確率過程、それらで駆動される多重 SLE、およびこれらと自由ガウス場とを結合させた超関数としての確率場、という３つの階層性に関して、系統的な研究を行う。
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