フェルミオン点過程と共形不変SLE曲線による確率場の総合的理論の構築

2021 年度 実施状況報告書

• 研究課題/領域番号: 19K03674
• 研究機関: 中央大学
• 研究代表者: 香取 眞理 中央大学, 理工学部, 教授 (60202016)
• 研究期間 (年度): 2019-04-01 – 2024-03-31
• キーワード: 行列式点過程 / 多重シュラム・レヴナー発展 / ガウス解析関数 / ガウス自由場 / 共形共変性 / リーマン多様体 / バーガーズ方程式 / 自由確率論

研究実績の概要

(1) 越田真史氏（中央大学学振PD特別研究員）との共同研究で、多重 Schramm-Loewner 発展(SLE)と自由ガウス場(GFF)との結合状態に関して研究を行った。多重 SLE を駆動する1次元多粒子確率過程が、Dyson の Brown 運動模型として一意に定まることを示した。ここで、Dyson 模型のパラメータβと多重 SLE のパラメータκとの関係がκ＝8/βと定まることが重要である。この対応関係と、結合状態の共形共変性、および SLE(κ，ρ）の特性を用いて、多重SLEにもκの値に応じて3つの相があることを証明した。
(2) 部分等長写像と行列式点過程(DPP)及びその双対性に関する白井朋之氏（九大IMI）との共著論文を Random Matrices: Theory and Application 誌に掲載した。
(3) 白井朋之氏（九大IMI）との円環上のガウス解析関数とその零点過程に関する論文に対して加筆修正を行い、Communications in Mathematical Physics 誌に掲載した。この加筆修正の段階で、零点過程の対構造や円環上の共形不変な点過程の多義性など、新しい側面を見出した。
(4) 白井朋之氏（九大IMI）との共同研究により、リーマン多様体上のDPPの局所普遍性を明らかにした。(5) 遠藤大樹氏（中央大大学院生）と佐久間紀佳氏（名古屋市立大）との共同研究により複素 Burgers 方程式の初期値問題を解き、自由確率論の知見と合わせて総合的に議論した。(6) 香取真知子氏（東大工院生）と Poisson 点過程及び Ginibre 点過程の上の連続パーコレーション模型と、さらにその上の伝染病伝播モデルに対して数値的な研究を行った。(7) Heisenberg 群の表現論から DPP のHeisenberg 族を議論した。

現在までの達成度 (区分)

1: 当初の計画以上に進展している

理由

(1) 投稿後の査読を受けていた、白井朋之氏との共著論文を、Random Matrices: Theory and Applications (RMTA)誌と Communications in Mathematical Physics 誌に online 掲載することができた。この加筆修正過程において、双方の研究課題に関して新たな側面を見出すことができて、研究が進展した。その結果も含めて、学術雑誌に発表することができたことは、本研究が順調に進展していることの一つの証であると考えたい。実際、越田真史氏との多重SLEと自由ガウス場との結合に関する研究も、2020年に J. Math. Phys. に掲載されたことで、上記のその後の研究に発展させることができた。今回も、RMTA誌に掲載の論文での議論を発展させることで、リーマン多様体上のDPPの局所普遍性を議論するに至った。
(2) 2021年6月のフランス Rennes のHenri Lebesgue センター主催の国際会議と、2021年10月のフランス Luminy のCentre International de Rencontres Mathematique で、いずれもコロナ禍のためオンライン参加となったが、招待講演を行うことができた。研究成果を発表し、参加者たちと有意義な議論をすることができたことも、研究が進展していることの表れである。

今後の研究の推進方策

(1) 白井朋之氏との共同研究により、円環上のガウス解析関数とその零点について、先行研究である Peres と Virag による円板上の確率場とは大きく異なる側面を明らかにすることができた。特にその零点過程として、これまで研究されてこなかったパーマネント・行列式点過程を導入することになった。そこでは、円環の種数が１である（穴が１つある）ということに相当して、零点に対構造が現れることを明らかにしたが、その特性はまだ完全には理解できていない。これに関しては、引き続き研究を行うよていである。
(2) 白井朋之氏とのリーマン多様体上の DPP の局所普遍性の研究は、一般的な議論を行うことに成功したものであり、これまでの共同研究の大きな成果と言える。しかし、リーマン多様体に対して複素構造を導入した場合には、その上の DPP の局所普遍性は異なった形となることが予想される。この予想を証明したいと考えている。
(3) 越田真史氏との共同研究で、多重 SLE と自由ガウス場との結合状態が、Dyson の Brown 運動模型とよばれる動的なランダム行列模型と結びついた。他方、Dyson 模型のパラメータβが1，2，4という特別な値をもつとき、この模型は可積分性（可解性）を持つことが知られており、本研究代表者は種村秀紀氏（慶応大学）と以前に系統的な研究を行った経験がある。この可積分性が、結合状態においても見られるかどうか非常に興味深い。この方向の研究を進めたいと思っている。

次年度使用額が生じた理由

2021年度はフランスで開催された２つの国際会議，Conference - Stochastic differential geometry and mathematical physics，June 7-11, 2021, Le Centre Henri Lebesgue, Rennes, 及び，CIRM Conference - Modern Analysis Related to Root Systems with Applications, October 18-22, 2021, Centre International de Rencontres Mathematiques, Luminy で招待講演を行った。コロナ禍のため，いずれもオンラインで行われたため、旅費・滞在費などで使用予定であった助成金が未使用となった。同様にコロナ禍にあった2020年度からの繰り越し分と合わせて，今回の繰越金額となっている。今年度 (2022年度) は，ドイツ，Bielefeld University 大学で8月に開催予定の Summer School (Fourth ZiF Summer School `Randomness in Physics and Mathematics, From Integrable Probability to Disordered Systems') に講師として招聘されており，この渡航費，滞在費として当該助成金を使用する計画である。

研究成果

• [雑誌論文] Partial isometries, duality, and determinantal point processes (2022)
  • 著者名/発表者名: Katori Makoto、Shirai Tomoyuki
  • 雑誌名: Random Matrices: Theory and Applications 巻: 11 ページ: 1-70
  • DOI: 10.1142/S2010326322500253
  • 査読あり / オープンアクセス
• [雑誌論文] Zeros of the i.i.d.Gaussian Laurent Series on an Annulus: Weighted Szeg? Kernels and Permanental-Determinantal Point Processes (2022)
  • 著者名/発表者名: Katori Makoto、Shirai Tomoyuki
  • 雑誌名: Communications in Mathematical Physics 巻: - ページ: -
  • DOI: 10.1007/s00220-022-04365-2
  • 査読あり / オープンアクセス
• [雑誌論文] Gaussian free fields coupled with multiple SLEs driven by stochastic log-gases (2021)
  • 著者名/発表者名: Makoto Katori, Shinji Koshida
  • 雑誌名: Advanced Studies in Pure Mathematics 巻: 87 ページ: 315-340
  • 査読あり
• [雑誌論文] Continuum percolation and stochastic epidemic models on Poisson and Ginibre point processes (2021)
  • 著者名/発表者名: Katori Machiko、Katori Makoto
  • 雑誌名: Physica A: Statistical Mechanics and its Applications 巻: 581 ページ: 126191～126191
  • DOI: 10.1016/j.physa.2021.126191
  • 査読あり
• [雑誌論文] Three phases of multiple SLE driven by non-colliding Dyson’s Brownian motions (2021)
  • 著者名/発表者名: Katori Makoto、Koshida Shinji
  • 雑誌名: Journal of Physics A: Mathematical and Theoretical 巻: 54 ページ: 325002～325002
  • DOI: 10.1088/1751-8121/ac0dee
  • 査読あり
• [学会発表] ランダムな点（ランダム行列）と線（SLE)と面（量子重力） (2022)
  • 著者名/発表者名: 香取眞理
  • 学会等名: 統計物理学懇談会
  • 招待講演
• [学会発表] Zeros of the i.i.d. Gaussian Laurent series on an annulus (2021)
  • 著者名/発表者名: Makoto Katori
  • 学会等名: Conference - Stochastic differential geometry and mathematical physics
  • 国際学会 / 招待講演
• [学会発表] Orthogonal theta functions associated with affine root systems and determinantal point processes (2021)
  • 著者名/発表者名: Makoto Katori
  • 学会等名: CIRM Conference - Modern Analysis Related to Root Systems with Applications
  • 国際学会 / 招待講演
• [学会発表] Hyperuniformity of the determinantal point processes associated with the Heisenberg group (2021)
  • 著者名/発表者名: Makoto Katori
  • 学会等名: 2021 RIMS 共同研究研究会「量子場の数理とその周辺」
  • 招待講演
• [学会発表] 円環上のガウス型解析関数とパーマネント・行列式点過程 (2021)
  • 著者名/発表者名: 香取眞理
  • 学会等名: 東京確率論セミナー
  • 招待講演
• [図書] 例題から展開する熱・統計力学 (2021)
  • 著者名/発表者名: 香取 眞理、森山 修
  • 総ページ数: 224
  • 出版者: サイエンス社
  • ISBN: 978-4-7819-1523-4
• [備考] 中央大学理工学部物理学科 統計物理学・数理物理学研究室「研究」
  • URL: https://www.phys.chuo-u.ac.jp/j/katori/?research