| 研究実績の概要 |
本研究の目的は、グラフの極小セパレータおよびそれと深く関係する潜在的極大クリークやbrambleと呼ばれる概念の代数的構造を明らかにすることである。2019年度の目標は、平行な二つの極小a,bセパレータS1, S2に対し、「S1とS2の間に位置する他の極小a,bセパレータの個数」と「S1とS2から構成される二部グラフの最大誘導マッチング数」の関係を明らかにすることである。
この目標のためには、極小a,bセパレータが成す束構造において、二つの極小a,bセパレータS1, S2が被覆関係にあるための必要十分条件とは何か？という基本的な問いに答える必要がある。本年度は、この基本的な問いに答えを与えた。すなわち、二つの極小a,bセパレータが被覆関係にあるための必要十分条件を与えた。この必要十分条件は、A.Berry氏等によるガロア束での被覆関係の特徴付けと、古くから知られている任意の束とガロア束の関係を組み合わせることにより、間接的・原理的に得ることができるが、本研究結果は、これを直接的・明示的に導いたことになる。
本年度の目標である「S1-S2の間のセパレータの個数とS1,S2から得られる二部グラフの最大誘導マッチング数の関係」を明らかにするためには、S1-S2間の「適切」な距離を定める必要がある。S1-S2間に位置するセパレータの個数を多くしたいが、S1-S2間の距離が短いと個数が少なく、距離が長いとマッチング数が小さくなる。このため、塩梅良く距離を定めることが重要となる。上述した被覆関係を基に距離を考えることになるが、被覆関係の必要十分条件を明らかにすることで束構造の理解が深まり、その結果、「適切」な距離の設定が当初の想定より難しいことが徐々に浮き彫りになり、目標を達成する為に必要な具体的な課題が明らかになった。
|
| 現在までの達成度 (区分) |
現在までの達成度 (区分)
2: おおむね順調に進展している
理由
平行な二つの極小a,bセパレータS1, S2に対し、「S1とS2の間に位置する他の極小a,bセパレータの個数」と「S1とS2から構成される二部グラフの最大誘導マッチング数」の関係を明らかにすることが2019年度の目標であった。この目標には到達できていないが、その足掛かりとなる「被覆関係なるための必要十分条件」という基本的かつ重要な結果が得られた。また、この必要十分条件を得る過程で、先行研究で暗黙的に述べられていた基本的事項(例えば極小a,bセパレータとガロア接続との関係)をより明確にすることができ、極小a,bセパレータが成す束構造の理解が進んだ。これにより、目標としている問題の本質的な難しさに気付くことができ、この意味においておおむね順調に進展していると考える。
|
| 今後の研究の推進方策 |
2019年度の目標である平行な二つの極小a,bセパレータS1, S2に対し、「S1とS2の間に位置する他の極小a,bセパレータの個数」と「S1とS2から構成される二部グラフの最大誘導マッチング数」の関係を明らかにすることであった。本年度の研究で、この目標の本質的な難しさがより明らかになった。計画段階での予定では、先ずは2019年度の目標を達成し、その後他の課題（潜在的極大クリークやbrambleとの関係）に着手する予定であったが、2019年度の目標を継続しつつ、他の課題にも着手する予定である。
|
