| 研究課題/領域番号 |
19K11829
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| 研究機関 | 徳島大学 |
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研究代表者 |
蓮沼 徹 徳島大学, 大学院社会産業理工学研究部(理工学域), 教授 (30313406)
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| 研究期間 (年度) |
2019-04-01 – 2024-03-31
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| キーワード | グラフ / 連結度 / 木 / キャタピラ / 耐故障性 / Mader予想 |
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| 研究実績の概要 |
Mader予想とは，位数mの任意の木Tに対して，最小次数が[3k/2]+m-1以上の全てのk-連結グラフGは，G-T'がk-連結であるようなTに同型な部分木T'を含む，ここで，[3k/2]は3k/2以下の最大の整数を表す，という命題である．この予想は理論的興味に基づいているが，ネットワークの耐故障性の問題への応用可能性をもっている．この予想について，k = 1のときは成り立つことが示されているが，一般のk >= 2に対しては未解決である．また，k = 2のときに木Tを星グラフ（内点数1の木），二重星グラフ（内点数2の木）に限定した場合にはMader予想が成り立つことは知られている．本研究では，これらのk = 2に対するMader予想の肯定的結果を含む，より一般的な結果を証明した．具体的には，以下の3つの定理を与えた．
１．位数mの任意の木Tに対して，最小次数がmax{m+n(T)-3,m+2}以上の全ての2-連結グラフGは，G-T'が2-連結であるようなTに同型な部分木T'を含む，ここでn(T)はTの内点数である．
２．位数mの任意のキャタピラTに対して，最小次数がmax{m+n(T)/4+1/2,m+2}以上の全ての2-連結グラフGは，G-T'が2-連結であるようなTに同型な部分木T'を含む.
３．位数mの任意の擬単調キャタピラTに対して，最小次数がm+2以上の全ての2-連結グラフGは，G-T'が2-連結であるようなTに同型な部分木T'を含む.
これらの結果から，k = 2に対するMader予想は，内点数が5以下の任意の木，内点数が6の任意のキャタピラ，任意の擬単調キャタピラ，位数が8以下の任意の木に対して成り立つことになる．
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| 現在までの達成度 (区分) |
現在までの達成度 (区分)
2: おおむね順調に進展している
理由
k = 2に対するMader予想の既知の肯定的結果を含む，より一般的な肯定的結果を証明することができた．
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| 今後の研究の推進方策 |
これまでのk = 2に対するMader予想の肯定的結果は全て木Tを限定するものであった．現時点でk = 2に対するMader予想が成り立つことが知られている木のクラスは，内点数が5以下の木，位数が8以下の木，直径が4以下の木，キャタピラである．今後は別の観点，すなわちk = 2に対するMader予想が成り立つような木Tのクラスを広げるあるいは新たな木のクラスを見つけるのではなく，任意の木でk = 2に対するMader予想が成り立つような2連結グラフのクラスについて考察を進める．具体的には，内周が最小次数に比べて大きな2連結グラフとk = 2に対するMader予想の関係について考察する．
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| 次年度使用額が生じた理由 |
今年度中の国際会議での研究発表を検討していたが，新型コロナウィルスの影響等により発表できなくなったため，次年度使用額が生じた．
使用計画：国際会議での研究発表に要する旅費を次年度研究費（旅費）と併せて使用する予定である．
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