| 研究課題/領域番号 |
19K11832
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| 研究機関 | 専修大学 |
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研究代表者 |
安藤 映 専修大学, ネットワーク情報学部, 准教授 (20583511)
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| 研究期間 (年度) |
2019-04-01 – 2024-03-31
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| キーワード | 高次元多面体 / #P-困難性 / ラプラス変換 |
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| 研究実績の概要 |
本年度は多変数のラプラス変換を用いて高次元多面体の体積を計算する方法について考察を進め、電子情報通信学会コンピュテーション研究会においてNIIのChristian Engelsと共著で研究発表を行った。
年度の半ばにおいてはまず、多変数のラプラス変換に関する理論的な裏付けについて確認することに専念した。ラプラス変換はフーリエ変換の一種とみなされることに注意し、理論的な背景や裏付けについてはフーリエ解析に関する文献を調べることによって今回の研究課題に対して多変数ラプラス変換を高次元多面体の体積の計算に適用しうることは確認できた。
その後、複数のn次元正軸体の体積の計算に対して多変数ラプラス変換を適用して体積を計算することを試みた。この種類の計算をする場合においては、立式の方法によって容易に式変形が煩雑になって、計算が手に負えなくなることに注意が必要である。多面体を配置する座標などに注意をすることで、ある程度手に負える程度の量の数式で書き下すことができる。
年度終わりのコンピュテーション研究会での発表においては、２つのn次元正軸体の重なりの体積を正確に表現する数式を２変数ラプラス変換を用いて計算した結果を報告した。ただし、同時にこの方針での限界も見えてきている。２つのn次元正軸体の重なりの体積を表現する数式を得ることはできたが、研究会予稿の大部分を占めるほどの長大な数式になった。このため、３つのn次元正軸体の重なり部分の体積は更に長大な数式となると思われるため、式を簡素にする良い工夫がなければ査読者を確保するのが難しい論文となると思われる。
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| 現在までの達成度 (区分) |
現在までの達成度 (区分)
4: 遅れている
理由
多変数のラプラス変換を用いることで正確に複数のn次元正軸体の重なり部分体積を表現する数式を求めうることは明らかになった一方で、数式が長大になりすぎるという点で難解な形式でしか求められない点に困難さを抱えていることが分かった。あと１年でこれまでのラプラス変換を用いる方針を維持しても十分な結果を得られない恐れがある。
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| 今後の研究の推進方策 |
ラプラス変換を用いて複数n次元正軸体の重なり部分体積を計算する方針から研究の進め方を変更し、他の多面体の体積を求める方法を考える方針である。現在のところ、全域木多面体（spanning tree polytope）と呼ばれる多面体についての考察を進めたいと考えている。全域木多面体は、無向グラフGが与えられたときにその全域木の特性ベクトルの凸法として与えられる多面体である。組み合わせ最適化の分野において全域木の最適化はよく知られている問題であるが、一方でこの多面体は頂点も面の数もnに対して指数個ありうるため、体積の計算が容易かどうか自明ではない。全域木多面体の頂点が全域木に対応するのに対し、全域木多面体の面は閉路に対応する。全域木と閉路の対応は良く知られているが、幾何双対からも意味があるため、幾何双対を重視する本課題の観点からも興味深い多面体である。
このような多面体を考える意義は、現在様々なn次元多面体を近似するのに有力な方法としてランダムサンプリングを用いた乱択化近似アルゴリズムが知られるようになっていることである。この種のアルゴリズムを考える際にはn次元空間内の任意の点xが多面体内に含まれるかどうかの判定をすることが必要となるが、この内外判定の容易性は全域木多面体を含め必ずしも自明ではない。特に、辺に重みが付与されるときに最大ないし最小重みの全域木を求めることは容易であると知られているため、全域木多面体の体積を求めることが容易であるかどうかは、最適化と体積計算の間の関連性を調べるうえで興味深いものになると考えられる。
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| 次年度使用額が生じた理由 |
本研究申請時点ではコロナ禍以前であったため、旅費として重点的に使用する計画であったが、オンライン参加などのために交通費宿泊費がかからなかったことが主な理由である。今後は対面のみでの開催の研究会などにも参加し、研究成果の発表や情報収集などのために旅費として使用する計画である。
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