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2019 年度 実施状況報告書

大規模線形方程式の数値解法(GPIDR(s)法)の開発

研究課題

研究課題/領域番号 19K12002
研究機関名古屋大学

研究代表者

張 紹良  名古屋大学, 工学研究科, 教授 (20252273)

研究期間 (年度) 2019-04-01 – 2022-03-31
キーワード大規模線形方程式 / 反復法 / Krylov部分空間 / Sonneveld部分空間
研究実績の概要

計算科学・データ科学に現れる超大規模線形方程式 Ax =b に対する次世代数値計算アルゴリズムを開発する.研究手法として,申請者が開発したGPBi-CG法[1]の理論(一般化積型クリロフ部分空間法),および同じく申請者らが開発したBlock IDR(s)法[2]の理論(ゾンネベルト部分空間法)を融合した解法である「一般化積型IDR法:GPIDR(s)法」(一般化ゾンネベルト部分空間法)を開発することで, 2020年以降の超大規模線形方程式への対応を可能とさせる.
[1] S.-L. Zhang: SIAM J. Sci. Comput., 18(1997), pp.537-551, [2] L. Du, S.-L. Zhang et al., J. Comput. Appl. Math., 235(2011), pp.4095-4106.
本研究における学術的問いは 「線形方程式に対する従来法の性能を超える数値解法は開発できるか?」 であり,具体的な問いは以下の3点である. 1. IDR(s)法の理論(ゾンネベルト部分空間)とGPBi-CG法の理論(一般化積型クリロフ 部分空間)の統一理論を構築できるか? 2. 統一理論からIDR(s)法の高速性とGPBi-CG法の頑強性を備えたアルゴリズム (GPIDR(s)法:一般化積型ゾンネベルト部分空間法)を構成できるか? 3. 近年の科学技術計算で要求される大規模線形方程式でのGPIDR(s)法の有用性を検証できるか?

現在までの達成度 (区分)
現在までの達成度 (区分)

2: おおむね順調に進展している

理由

超大規模線形方程式の数値解法の開発と実問題への応用を目的とする.国産の数値解法であるGPBi-CG法の理論的根幹である積型クリロフ部分 空間理論と,最先端の数理アルゴリズムであるBlock IDR(s)法の理論的根幹であるIDR定理(帰納的次元縮小定理)を統一する着眼点が独創的であり,統一された理論から従来法を凌ぐ高速・高精度・高安定解法を開発することが創造的である.具体的には,IDR定理は行列1次多項式の積で構成されるという着眼点により,その多項式を積型クリロフ部分空間理論で用いられるLanczos多項式(数値計算の丸め誤差に対して頑強)を用いることにより「一般化積型IDR定理」を構築する.このことによりLanczos多項式内の係数の選び方により,従来のIDR定理が得られるという意味で一般化さ れている.さらにこの一般化積型IDR定理(高い視点)により,次世代の数値解法になり得る一般化積型IDR法 (GPIDR(s)法)を開発する.
まず,2019年度から半年の期間に一般化積型IDR定理の構築を行い,有限回の反復で線形 部分空間の次元が0次元になることを証明する.これは導出される解法に対する収束性(有 限回反復で解に収束するため)の理論保証となる.次に一般化積型IDR定理に基づく解法を導出するが,生成される解法には多様性があるため,数値的に丸め誤差の影響を最も受けにくい解法を数値実験結果(フィードバック)に基づき明らかにする.

今後の研究の推進方策

今後の研究計画の実現については,IDR定理の拡張(一般化積型IDR定理)が研究の根幹であり, 論文[3]にあるように十分把握している.さらに一般化積型IDR定理を構築するために必要なLanczos多項式についてはGPBi-CG法[2]の研究から明らかであるため,一般化積型 IDR定理の実現性は高いと考えている.さらに,一般化積型IDR定理から導出される,(GPBi-CG法とIDR(s)法の融合として位置づけられる)GPIDR(s)法の導出に当たっては,積型クリロフ部分空間法の枠組みの中でGPBi-CG法を導出した経験[1],そしてIDR定理からBlock IDR(s)法を導出した経験[3]により,1年半の研究期間があれば問題なく実施できると考えている.なお,近年ではシフト線形方程式という計算物理学や最適化問題に現れる専用の解法をIDR定理に基づき開発しており[3],解法開発の職人的研究センスは向上している状況である.
[1] S.-L. Zhang: SIAM J. Sci. Comput., 18(1997), pp.537-551.【査読有】, [2] L. Du, S.-L. Zhang et al., J. Comput. Appl. Math., 235(2011), pp.4095-4106. 【査読有】, [3] L. Du, S.-L. Zhang et al., J. Comput. Appl. Math., 274(2015), pp.35-43. 【査読有】
※L.Du 氏(現:大連理工大学・副教授)は,申請者(張:Zhang)の博士課程指導学生であった.

次年度使用額が生じた理由

予備実験等の結果、研究設備の購入を見直す必要が生じたもの.

  • 研究成果

    (9件)

すべて 2019

すべて 雑誌論文 (5件) 学会発表 (4件) (うち国際学会 1件)

  • [雑誌論文] Adaptive SOR methods based on the Wolfe conditions2019

    • 著者名/発表者名
      Y. Miyatake, T. Sogabe, S.-L. Zhang
    • 雑誌名

      Numerical Algorithms

      巻: 84 ページ: 117~132

    • DOI

      10.1007/s11075-019-00748-0

  • [雑誌論文] Modified Strang splitting for semilinear parabolic problems2019

    • 著者名/発表者名
      K. Nakano, T. Kemmochi, Y. Miyatake, T. Sogabe, S.-L. Zhang
    • 雑誌名

      JSIAM Letters

      巻: 11 ページ: 77~80

    • DOI

      10.14495/jsiaml.11.77

  • [雑誌論文] A structure-preserving Fourier pseudo-spectral linearly implicit scheme for the space-fractional nonlinear Schr?dinger equation2019

    • 著者名/発表者名
      Y. Miyatake, T. Nakagawa, T. Sogabe, S.-L. Zhang
    • 雑誌名

      Journal of Computational Dynamics

      巻: 6 ページ: 361~383

    • DOI

      10.3934/jcd.2019018

  • [雑誌論文] Relation between the T-congruence Sylvester equation and the generalized Sylvester equation2019

    • 著者名/発表者名
      Y. Satake, M. Oozawa, T. Sogabe, Y. Miyatake, T. Kemmochi, S.-L. Zhang
    • 雑誌名

      Applied Mathematics Letters

      巻: 96 ページ: 7~13

    • DOI

      10.1016/j.aml.2019.04.007

  • [雑誌論文] A Breakdown-Free Block COCG Method for Complex Symmetric Linear Systems with Multiple Right-Hand Sides2019

    • 著者名/発表者名
      H.-X.Zhong, X.-M. Gu, S.-L. Zhang
    • 雑誌名

      Symmetry

      巻: 11 ページ: 1302~1302

    • DOI

      10.3390/sym11101302

  • [学会発表] On an interval truncation method of the double exponential formula for the matrix logarithm2019

    • 著者名/発表者名
      F. Tatsuoka, T. Sogabe, Y. Miyatake, S.-L. Zhang
    • 学会等名
      SIAM East Asian Section Conference 2019 (EASIAM 2019)
    • 国際学会
  • [学会発表] 数値積分に基づく行列対数関数の計算について2019

    • 著者名/発表者名
      立岡文理, 曽我部知広, 剱持智哉, 張紹良
    • 学会等名
      RIMS研究集会「諸科学分野を結ぶ基礎学問としての数値解析学」
  • [学会発表] 行列実数乗の計算に対する数値積分法のための前処理について2019

    • 著者名/発表者名
      立岡文理, 曽我部知広, 剱持智哉, 張紹良
    • 学会等名
      日本応用数理学会 2019年度年会
  • [学会発表] 未知の行列とその複素共役転置を同時に含むSylvester方程式について2019

    • 著者名/発表者名
      佐竹祐樹,曽我部知広,剱持智哉,張紹良
    • 学会等名
      日本応用数理学会 2019年度年会

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公開日: 2021-01-27  

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