| 研究課題/領域番号 |
19K14505
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| 研究機関 | 東京大学 |
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研究代表者 |
土谷 昭善 東京大学, 大学院数理科学研究科, 特別研究員 (30836953)
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| 研究期間 (年度) |
2019-04-01 – 2022-03-31
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| キーワード | 格子凸多面体 / 正規性 / 反射的凸多面体 / Ehrhart多項式 / unimodal性 / γ-positive性 |
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| 研究実績の概要 |
格子凸多面体に含まれる格子点の数え上げに関する研究は組合せ論だけでなく可換環論や代数幾何といった様々な分野に現れる基本的かつ重要な研究である．当該研究目的は特に正規反射的凸多面体に焦点を当て，Stanleyのunimodal予想，小田予想，そしてGal予想から派生される問題の解決を目指すものである．
今年度の研究では関西学院大学の大杉英史氏との共同研究により，豊穣順序凸多面体と豊穣鎖凸多面体を有限半順序集合から構成し，この二つがEhrhart同値，特にそのEhrhart多項式が豊穣P分割の数え上げ関数と一致していることを示した．これはStanleyによる順序凸多面体，鎖凸多面体，そしてP分割に関する一連の理論の豊穣版となっている．またこの２つの凸多面体は常に正規反射的凸多面体である．特にそのh*多項式は球面のある旗三角形分割のh多項式と一致している．球面のある旗三角形分割のh多項式に関する予想であるGal予想，およびNevo-Petersen予想がこの二つの多面体に関して成り立つことも示している．一方，上記のEhrhart同値の証明にはグレブナー基底といった代数的な手法が用いられており，組合せ論的証明，とくに全単射写像を構成しての証明が求められていた．名古屋大学の岡田聡一氏との共同研究により2つの凸多面体の間の区分線形全単射写像を構成しそれを解決した．
また大杉英史氏との共同研究により局所的アンチブロッキング凸多面体のh*多項式が付随するunconditonal凸多面体のh*多項式たちの平均となっていることを示し，豊穣鎖凸多面体の結果を用いることで，以前構成した双子鎖凸多面体のh*多項式がγ-positiveであることの証明に成功した．またA型対称辺凸多面体に関してこの手法を応用し，広いグラフのクラスに対して，そのh*多項式のγ-positive性を示した．
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| 現在までの達成度 (区分) |
現在までの達成度 (区分)
2: おおむね順調に進展している
理由
これまで知られていなかった豊穣P分割の多面体的解釈，そして格子凸多面体のh*多項式のunimodal性およびγ-positive性について興味深い結果が得られており，その際に駆使した新手法も今後の発展が見込まれる．
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| 今後の研究の推進方策 |
豊穣鎖凸多面体を含むクラスである理想グラフに付随するunconditional凸多面体のh*多項式は常にγ-positiveであると予想している．これを解決すれば局所的アンチブロッキング反射的凸多面体のh*多項式も常にγ-positiveとなることが従い非常に重要な問題である．またA型対称辺凸多面体も常にγ-positiveであると予想している．この２つの予想に対し，そのh*多項式に付随するγ多項式に組合せ論的解釈を与えることで解決することを目指す．
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