研究課題
ヘッセンバーグ多様体は旗多様体の部分多様体であり，シューベルト多様体のように，幾何，代数，組合せ論が相互作用するような興味深い研究対象である．今年度は正則な冪零ヘッセンバーグ多様体に関する以下の研究を行った．正則な冪零ヘッセンバーグ多様体のコホモロジーのフィルトレーションの構成を行い，それを用いることにより，正則な冪零ヘッセンバーグ多様体のコホモロジーのベクトル空間としての基底として単項式基底が得られた．その単項式基底は，旗多様体のときには，シューベルト多項式の各項に現れるものであるため，シューベルトカルキュラスの観点から重要と思われる．実際，この観点からヘッセンバーグ-シューベルト多項式を導入した．一方，旗多様体のコホモロジー環から正則な冪零ヘッセンバーグ多様体のコホモロジー環への制限写像は全射であることが知られている．シューベルト類は旗多様体のコホモロジーの基底をなすが，その制限写像による像は，正則な冪零ヘッセンバーグ多様体のコホモロジー環において，ある線形関係式を満たす．そのすべての線形関係式を与えるアルゴリズムを与えた．実際，そのアルゴリズムはシューベルトカルキュラスでよく知られているMonkの公式を用いることで線形関係式を具体的に記述することができる．この結果を論文に纏め，arXivにアップロードした． 本研究は原田芽ぐみ氏，村井聡氏，Martha Precup氏，Julianna Tymoczko氏との共同研究である．
2: おおむね順調に進展している
旗多様体上のシューベルトカルキュラスは，シューベルト多様体たちの交叉数を計算することが目的である．シューベルト多様体を記述する良い多項式としてシューベルト多項式が知られており，旗多様体上のシューベルトカルキュラスの問題は，２つのシューベルト多項式の積をシューベルト多項式の一次結合で展開したときの構造定数の計算に帰着される．nを正の整数とする．n次の置換に付随するシューベルト多項式の各項に現れる単項式たちは，A_{n-1}型旗多様体のコホモロジーの基底をなす．（ここで，各変数は旗多様体上の反復直線束の第一チャーン類のマイナス倍を表している．）すなわち，シューベルト類を単項式の一次結合で表した記述が，シューベルト多項式の記述を与えている．この観点から，今年度得られた単項式基底を用いることにより，正則な冪零ヘッセンバーグ多様体において，ヘッセンバーグ-シューベルト多項式という概念を導入した．そのため，本研究課題はおおむね順調に進展している．尚，ヘッセンバーグ-シューベルト多項式は，正則な冪零ヘッセンバーグ多様体が旗多様体のときは，シューベルト多項式を表している．
正則な冪零ヘッセンバーグ多様体は，旗多様体とピーターソン多様体が両極端の場合である．ピーターソン多様体は，旗多様体の量子コホモロジーと関連があることが知られている興味深い対象である．今後の研究においては，まずピーターソン多様体の場合に，ヘッセンバーグ-シューベルト多項式の計算を行うことを目標とする．その後，一般の正則な冪零ヘッセンバーグ多様体の場合を考察する予定である．
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すべて 雑誌論文 (1件) (うち査読あり 1件) 学会発表 (3件) (うち国際学会 2件、 招待講演 2件)
the Proceedings volume of the conference in Schubert Calculus, Guangzhou, November 2017
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