| 研究実績の概要 |
重み付き超曲面のK-安定性についてのTasin氏との共同研究を行なった. Fano多様体がKahler-Einstein計量を持つこととK-ポリ安定性を満たすことが同値であることが示されて以来, 具体的なFano多様体のK-安定性が盛んに研究されてきた. 特に射影空間の3次以上のFano超曲面は全てK-安定ではないか？というシンプルな問は興味深い. 実はgeneralな超曲面はK-安定であることがTian氏, Zhuang氏らにより示されていた. 申請者はTasin氏とFano重み付き超曲面の場合にそれを拡張した. 具体的には, 指数が次元より低いgeneralなFano重み付き超曲面はK-安定であることがわかった. キーとなるのは, Brieskorn-Pham(BP)型の方程式の場合のK-安定性判定条件を決定したことである. 指数1の時には, ``重複度補題''なる主張が成り立てばK-安定性が従うことは示した.
この研究を2021年末にarXivにアップロードしたところ, Liu氏から佐々木-Einstein計量との関係を指摘され, Liu氏,Tasin氏との共同研究が始まった. それにより, 奇数次元のホモトピー球面のうち平行化可能な多様体の境界となるものが, 無限個の族をなす佐々木-Einstein計量を持つことが示せた. ここから特に, Collins-Szekelyhidi, およびBoyer-Galicki-Kollarの予想が解決できた. このホモトピー球面はBP型の特異点のlinkとして現れるもので, 通常の球面も含む. キーとなったのは, Tasin氏との共同研究でのBP型の超曲面のK-安定性の判定法を因子に沿ってorbifold locusが現れる場合に拡張することであった.
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