高次元代数幾何の数論幾何への展開

2021 年度 実績報告書

• 研究課題/領域番号: 19K14512
• 研究機関: 名古屋大学
• 研究代表者: 谷本 祥 名古屋大学, 多元数理科学研究科, 准教授 (10785786)
• 研究期間 (年度): 2019-04-01 – 2022-03-31
• キーワード: Fano多様体 / Manin予想 / 有理曲線 / 有理点 / 極小モデル理論 / 曲げ折り法

研究実績の概要

最終年度はまず任意の曲線上のdel Pezzo束のセクションの動的曲げ折り法を確立した論文の改訂作業を行なった. 論文は査読され, 無事Geometry & Topologyに受理された. また2020年度に清水氏と書き上げた次数1の3次元del Pezz多様体の幾何的Manin予想を証明した論文の改訂作業も行い, 論文は無事European Journal of Mathematicsに受理され2022年3月に出版された. さらに長年解決できなかった正標数の幾何的Manin予想にまつわる論文をRoya Beheshti, Brian Lehmann, Eric Riedlと書き上げた. ほとんどの標数でdel Pezzo曲面の幾何的Manin予想を証明し, さらに標数2や3で閉集合版の弱Manin予想が成り立たないdel Pezzo曲面の例を発見した. arXivにアップロードし, 学術雑誌に投稿した. Manin予想の例外集合の双有理幾何学に関しては2019年度に改訂作業に多くの時間を割いたBrian LehmannとAkash K. Senguptaとの共著が無事Compositio Mathematicaに受理された. さらにPieropan, Smeets, Varilly-Alvaradoと書き上げたCampana点のManin予想に関する論文はProceedings of the London Mathematical Societyより出版された. さらに報告集にサーベイ論文が2本出版された.

研究期間全体を通して多くの成果を挙げることができた. 上であげた結果以外にも, Picard数が1である3次元Fano多様体の幾何的Manin予想を大部分で解決した論文はJournal of Algebraic Geometryに出版された. 有理点の数え上げ関数の一般的な上界を与えた論文はAlgebra & Number Theoryに出版された. さらに有理曲線上のdel Pezzo束のセクションの動的曲げ折り法を確立した論文と3次元Fano多様体上の有理曲線の動的曲げ折り法を確立した論文は2022年4月現在も査読中である.

研究成果

• [国際共同研究] Boston College/University of Notre Dame/Washington University, St. Louis(米国)
  • 国名: 米国
  • 外国機関名: Boston College/University of Notre Dame/Washington University, St. Louis
• [雑誌論文] The spaces of rational curves on del Pezzo threefolds of degree one (2022)
  • 著者名/発表者名: Shimizu Nobuki、Tanimoto Sho
  • 雑誌名: European Journal of Mathematics 巻: 8 ページ: 291～308
  • DOI: 10.1007/s40879-021-00516-2
  • 査読あり
• [雑誌論文] Geometric consistency of Manin's Conjecture (2022)
  • 著者名/発表者名: Brian Lehmann、Akash Kumar Sengupta、Sho Tanimoto
  • 雑誌名: Compositio Mathematica 巻: 印刷中 ページ: 印刷中
  • 査読あり / オープンアクセス / 国際共著
• [雑誌論文] Classifying sections of del Pezzo fibrations, II (2021)
  • 著者名/発表者名: Brian Lehmann、Sho Tanimoto
  • 雑誌名: Geometry & Topology 巻: 印刷中 ページ: 印刷中
  • 査読あり / 国際共著
• [雑誌論文] Campana points of bounded height on vector group compactifications (2021)
  • 著者名/発表者名: Pieropan Marta、Smeets Arne、Tanimoto Sho、Varilly‐Alvarado Anthony
  • 雑誌名: Proceedings of the London Mathematical Society 巻: 123 ページ: 57～101
  • DOI: 10.1112/plms.12391
  • 査読あり / オープンアクセス / 国際共著
• [雑誌論文] Campana points, Height zeta functions, and log Manin’s conjecture (2021)
  • 著者名/発表者名: 谷本 祥
  • 雑誌名: 数理解析研究所 講究録“解析的整数論の展望と諸問題” 巻: 2196 ページ: 26--36
  • オープンアクセス
• [雑誌論文] An introduction to Geometric Manin's conjecture (2021)
  • 著者名/発表者名: 谷本 祥
  • 雑誌名: 都の西北代数幾何学シンポジウム 2021 報告集 “接束の正値性とその周辺” 巻: -- ページ: 102--118
  • オープンアクセス
• [学会発表] Some updates on thin exceptional sets in Manin’s conjecture (2021)
  • 著者名/発表者名: Sho Tanimoto
  • 学会等名: the IML program “Number Theory: Rational points”
  • 国際学会 / 招待講演
• [学会発表] Rational curves on del Pezzo surfaces in characteristic p (2021)
  • 著者名/発表者名: 谷本 祥
  • 学会等名: 都の西北代数幾何学シンポジウム 2021, 早稲田大学
  • 招待講演
• [備考] Sho Tanimoto's website
  • URL: https://shotanimoto.wordpress.com