| 研究課題/領域番号 |
19K14523
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| 研究機関 | 東京工業大学 |
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研究代表者 |
鈴木 咲衣 東京工業大学, 情報理工学院, 准教授 (40636263)
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| 研究期間 (年度) |
2019-04-01 – 2024-03-31
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| キーワード | quantum invariants / knots and links / framed 3-manifolds / ideal triangulations / universal invariant |
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| 研究実績の概要 |
3次元多様体の単体分割に値を定め， Pachner移動の下で不変になることを示すことで3次元多様体の不変量が得られる． Pachner(2,3)移動は3次元球体の2つの四面体による分割を3つの四面体による分割に変更する移動であり， 1つの四面体に行列を与えると, 5つの行列を含んだ方程式になる． R. Kashaevにより， ハイゼンベルグダブルのカノニカル元が上記の方程式の解を与えることが知られている． 本研究では， このカノニカル元を四面体に与えることで， 3次元多様体を構成する試みを行なってきた． R2年度には寺嶋郁二氏とSerban Mihalache氏との共同研究として， ホップ代数がinvolutory, unimodular, counimodularの場合に閉3次元多様体の位相不変量を構成した． 3次元多様体の表示にR. Benedetti and C. Petronioによる3次元多様体のnormal o-graphによる表現を用いた．
ホップ代数が上記の条件を満たさない場合はo-graphの同値関係により不変にならない部分が現れることがわかっており， normal o-graphを一般化することで枠つき閉3次元多様体の不変量を得られると予想していた． R3年度にはベッチ数が0の枠つき閉3次元多様体の場合にその不変量の構成を与えた. normal o-graphの辺に整数の重みづけをすることで， spine上のcombingを枠に拡張する方法を一意的に与えて枠つき閉3次元多様体の表示を行なった．
葉廣和夫氏との共同研究として， ホップ代数を幾何学的に実現することでKuperberg不変量をTQFTへ拡張する研究も引き続き進めている.
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| 現在までの達成度 (区分) |
現在までの達成度 (区分)
2: おおむね順調に進展している
理由
R3年度にはベッチ数が0の枠つき閉3次元多様体に対して不変量の構成を与えることができた． この結果は本研究の主要な目的のひとつであり， 研究は順調に進展した． Kuperberg不変量との関係はまだ明らかになってはいないが， 理解は確実に進んでいる．
コロナウイルスの影響で出張が制限され研究交流が滞ったこともあり， 周辺分野への応用が思うように進まなかった． 特に体積予想へのアプローチや数理物理的不変量との比較などには手が届かなかった．
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| 今後の研究の推進方策 |
R3年度にはベッチ数が0の枠つき閉3次元多様体に対して不変量の構成を与えた． この不変量はKuperberg不変量と同等であることが予想されるため， まずは2つの不変量の関係の解明に取り組む． Kuperberg不変量はHeegaard分解を用いたボルディズムの不変量であり， Heegaard図式にホップ代数の構成射を対応させて構成される． Heegaard分解はnormal o-graphとして見ることもできて， この場合は本研究の構成と一致する． しかし閉3次元多様体を表すclosed normal o-graphにはなっておらず， まだ直接の比較ができる枠組みになっていない． 本研究の構成を境界付き3次元多様体のボルディズムの不変量に拡張し， Kuperberg不変量と比較できるところまで一般化することが必要である．
本研究の不変量を境界付き3次元多様体のボルディズムの不変量に拡張できれば， TQFTとして定式化できると期待される． Kuperberg不変量と合わせてTQFTに拡張することで両者の構成を局所的に比較することも視野に入れている．
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| 次年度使用額が生じた理由 |
出張制限のために旅費を使用できなかった． 未使用分については，状況が許せば国内外の出張に使用する． また出張が難しい間は， 研究交流の補完， 促進のため， 遠隔会議を行う． そのための設備（スピーカーフォンやヘッドセットなど）を購入する．
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