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有限体積3次元双曲多様体にはモストフ剛性があり、位相から等長類が決まる。しかし、完備でない構造によって変形できる場合がある。本研究では、錐構造などの完備でない双曲構造の変形に基づいて、3次元多様体の基本群の表現空間を幾何学的に考察した。
本研究の成果は以下の通りである。まず、個々の3次元双曲多様体を点とする空間について有限被覆との関係から考察した。結果として、有限被覆による通約類をとったときの商位相が正規ハウスドルフであることを示した。これにより、各通約類が3次元双曲多様体全体の空間の中である程度まばらに分布しているといえる。
また、3次元双曲錐多様体の変形を考察した。錐角がπと2πの間にある場合に、錐角が減少するにも関わらず退化する例をトーラス上の交代絡み目から得た。双曲錐構造はある多面体の貼り合わせによって具体的に構成でき、その双曲的な多面体の等長類を決定することに帰着できる。ここで、退化は特異集合が交わることによって起こる。錐角減少変形での退化は特殊な現象ではないはずだが、具体的な初めての記述である。この例は双曲錐構造の変形を考える上で重要だと考えられる。
これに関連して、変形の際の特異集合の交差を回避するために、錐構造の一般化となる穴あき錐構造を定義した。上記の例に対しては、2πより小さい任意の錐角を実現できるようになる。基本群の表現を幾何学的に表すことができる範囲が増えるので、双曲錐構造の大域的な剛性を考察する上でも役立つと考えられる。
本年度は、トーラス上の絡み目の普遍被覆として得られる二重周期絡み目について考察した。この際にトーラス上の絡み目の有限被覆とイソトピーとの関係が問題になる。それらの整合性に関する結果を、絡み目の補空間の幾何構造を利用することにより示した。
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