| 研究課題/領域番号 |
19K14533
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| 研究機関 | 九州大学 |
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研究代表者 |
寺本 圭佑 九州大学, マス・フォア・インダストリ研究所, 学術研究員 (10830002)
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| 研究期間 (年度) |
2019-04-01 – 2022-03-31
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| キーワード | フロント / 混合型曲面 / 特異点 / ガウス曲率 / ガウス写像 / 焦曲面 |
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| 研究実績の概要 |
本年度は、3次元ユークリッド空間内のフロントや3次元ローレンツ・ミンコフスキー内の混合型フロンタル曲面に対して、次の結果を得た。
1．3次元ユークリッド空間内のフロントの主曲率関数は、一つが非退化特異点においても滑らかな関数として拡張され、他方は非有界な関数になることが知られている。非有界な主曲率関数に注目すると、その逆数は特異点において滑らかな関数に拡張され、さらに特異点では零でない値をとる。このことから、フロントの非有界な主曲率関数に対する焦曲面が定義できる。この焦曲面に現れる特異点と焦曲面の微分幾何学的性質について考察を行った。特異点に関しては、初期フロントがツバメの尾を持つとき焦曲面はカスプ辺を持つといった対応を示した。また、初期フロントがカスプ辺を持つとき、初期フロントのガウス曲率と焦曲面のガウス曲率の関係を示した。
2．3次元ユークリッド空間内のフロントのガウス曲率が、特異点において零でない有界になる場合、そのガウス写像の特異性について考察を行った。特に、フロントがカスプ辺でない非退化特異点を持つ場合を扱った。このとき、ガウス写像の特異点としては、元のフロントと対応する点で折り目特異点のみを許容するという結果を得た。
3．3次元ローレンツ・ミンコフスキー空間内の混合型フロンタルに対して、特異点集合と光的点集合が横断的に交わる場合について考察を行った。特に、光的曲線の像が正則曲線となる場合を扱った。この設定の下、混合型フロンタルの光的点集合に沿った適切な枠をから得られる不変量を定式化し、これまでの研究で得られている不変量との関係を示した。また、この枠を用いて二種類の光的曲面を定義し、そこに現れる特異点の型を混合型フロンタルの不変量を用いて特徴づけた。
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| 現在までの達成度 (区分) |
現在までの達成度 (区分)
2: おおむね順調に進展している
理由
特異点を持つ曲面の幾何学に関して、非有界な主曲率関数に対するフロントの焦曲面の研究方法を確立できた。この方法は、フロントでないフロンタル曲面の焦曲面の研究やリバクール変換の研究に対して重要な役割を果たすと考えられる。また、有界なガウス曲率を持つフロントのガウス写像に対して、カスプ辺でない場合の特異点に対するガウス写像の特異点型を特定できた。特に、フロントのツバメの尾特異点とガウス写像のカスプ特異点は両立しないという興味深い結果が得られた。これらの結果は、ガウス写像の特異値集合(球面フロント)の幾何学的性質・位相的性質を明らかにするために大きな貢献をすると考えられる。さらに、混合型フロンタルの研究によって、混合型曲面の理論に対する理解がより深まった。
以上のことから、おおむね順調に研究が進んでいるといえる。
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| 今後の研究の推進方策 |
引き続き、フロント・フロンタルの幾何学的性質の研究や混合型曲面の研究を進める。
フロンタル曲面に対しては、曲率線枠や曲率線座標を用いて焦曲面やリバクール変換についての研究を進める。これらの研究を進める上で、本年度に得られた手法が有効になると考えられる。また、ガウス曲率が有界なフロントやフロンタルのガウス写像の幾何学的・位相的性質について、回転数やジグザグ数についての研究を行う。
混合型フロンタルの幾何学では、光的点集合の像が特異点を持つ場合の枠に関する研究を行う。これは、枠付き曲線などの理論を応用し進めていく。また、3次元ローレンツ多様体への一般化を目指す。さらに、混合型曲面に対して、第一種光的点でない点における不変量についての考察を行う。
これらの研究を進めるために、関係する研究者との議論を十分に行う。また、得られた結果をまとめ、論文として発表する。
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| 次年度使用額が生じた理由 |
対面での研究打ち合わせや研究集会が中止や延期、オンラインでの開催となり、予定していた旅費の使用がなかったので次年度使用額が生じた。今後の状況にもよるが、次年度は対面での研究打ち合わせ等の旅費に使用することを計画している。
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