| 研究課題/領域番号 |
19K14533
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| 研究機関 | 広島大学 |
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研究代表者 |
寺本 圭佑 広島大学, 先進理工系科学研究科(理), 助教 (10830002)
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| 研究期間 (年度) |
2019-04-01 – 2023-03-31
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| キーワード | フロント / 特異点 / 混合型曲面 / 焦曲面 / ガウス写像 / ガウス曲率 / フロンタル |
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| 研究実績の概要 |
本年度は、主として第二種特異点を持つフロントの非有界な主曲率関数に対する焦面の幾何学の研究及びある種の特異点を許容するフロンタル曲面の焦面の特異点や幾何学的不変量の研究を行った。得られた成果は以下のとおりである
1．フロントの第二種特異点とは、ツバメの尾に代表されるように特異点集合の像が特異点を持つ空間曲線となるものである。このような特異点を持つフロントに対して、主曲率関数及び主方向ベクトルを用いて劣放物点の概念を導入した。また、ガウス曲率がある種の有界性をみたすとき、第二種特異点はフロントの劣放物点に対応していることを示した。さらに、特異点において非有界な主曲率関数に対するフロントの焦曲面のガウス曲率の振る舞いと劣放物点の関係を明らかにした。
2．フロンタル曲面とは、フロントを含むより広い特異点を許容する曲面のクラスである。これらの曲面において、純フロンタル特異点において、主曲率関数は滑らかな関数として拡張できることが知られている。本研究では、純フロンタル特異点を持つフロンタル曲面の焦面に現れる特異点の研究を行った。特に、焦面が特異点を持つための条件を不変量を用いて与えた。さらに、焦面に現れるいくつかの特異点型に対して、幾何学的量を用いた判定条件を示した。また、初期フロンタルが 5/2 カスプ辺を持つとき、焦面の対応する点でのガウス曲率を初期フロンタルの不変量で書き下し、非正の値をとることを示した。
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| 現在までの達成度 (区分) |
現在までの達成度 (区分)
2: おおむね順調に進展している
理由
フロントの非有界な主曲率関数に対する焦面において、そこに現れる特異点やガウス曲率のある種の有界性の特徴づけを初期フロントの特異点型及び微分幾何学的性質を用いて特徴づけることができた。これらの結果の中には、正則曲面では見られないフロント特有の結果があり、フロントの幾何学的性質の理解が深まった。また、純フロンタル特異点を持つフロンタル曲面の(外的)微分幾何学的性質はあまり知られていない中で、焦面を考察することにより、これまで得られていた不変量や古典的に知られていた幾何学的性質の拡張概念の意味づけを与えることができた。これらの結果は、フロントのリバクール変換を考察する上でも重要な役割を果たすと考えられる。一方、予定していた研究打ち合わせが中止になるなどして、混合型曲面の幾何学に関して進展は少なかった。以上のことから、おおむね順調に進展している判断した。
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| 今後の研究の推進方策 |
新型コロナウイルス感染症の影響で予定していた研究打ち合わせや参加予定の研究集会が中止または延期、オンライン開催への変更などの影響から混合型曲面の研究が進まなかった。今後は、オンラインでの打ち合わせを積極的に行うなどして、研究を進めていきたい。具体的には、以下の研究を進める。
1．フロントのリバクール変換の研究に対して、曲率線枠の微分から得られる関係式を明示的に与える。また、それらを用いて、リバクール変換に現れる特異点の判定条件を明らかにする。
2．有界なガウス曲率を持つフロントのガウス写像の特異点集合の像の微分幾何学的・位相幾何学的性質の研究。特に、回転数やジグザグ数についての研究を行う。
3．第一種でない光的点を持つ混合型曲面のガウス曲率や平均曲率の挙動、第二種光的点において定義される不変量の考察を行う。
これらの研究に関して、関連研究者と適宜打ち合わせを行う。また、得られた結果は、研究集会や論文として発表する。
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| 次年度使用額が生じた理由 |
新型コロナウイルス感染症の流行のため、予定していた研究打ち合わせや参加予定の研究集会が中止やオンライン開催になったため。次年度は、対面での研究打ち合わせや研究集会に参加するために使用する。また、オンライン打ち合わせ用の周辺機器の購入を行う。
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