| 研究実績の概要 |
本研究の目的である「完備安定勾配リッチソリトン及び完備勾配山辺ソリトンの分類」及び「部分多様体としての リッチソリトン，山辺ソリトンの分類」を行うため，まずは１つ目の完備安定勾配リッチソリトンの研究を行った。特に，２０１３年に Brendle により解かれた Perelman 予想を拡張させた問題に取り組んだ。すわなち，3次元完備安定勾配リッチソリトンは R^3の商, Hamilton の cigar soliton と R の積の商，もしくは Bryant soliton であろうという問題に取り組んだ，この方向では G. Catino, P. Mastrolia, D. D. Monticelli による研究があり，彼らはスカラー曲率に関する仮定のもと分類定理を与えている。また，彼らは 3-divergence free cotton tensor のもとで問題を解決している。一方で H.-D. Cao, Q. Chen らや G. Wei, P. Wu らにより弱い仮定を持つリッチソリトンのポテンシャル関数は距離関数で上からも下からも抑えられていることがわかっている。P. Petersen, W. Wylie はポテンシャル関数が距離関数でかけるときのリッチソリトンである rectifiable リッチソリトンを導入した。
本研究ではPetersen Wylieにより導入されたポテンシャル関数が距離関数でかけるときの3次元完備安定勾配リッチソリトンを考え，分類定理を与えた。また，この研究は3次元完備拡大勾配リッチソリトンにも応用することができ，この場合にも類似の分類を与えることができた。この研究で用いた技術は高次元へ応用することは難しく，また，同様の問題は４次元では考えることができないことがわかった。
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