| 研究課題/領域番号 |
19K14539
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| 研究機関 | 早稲田大学 |
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研究代表者 |
佐々木 東容 早稲田大学, 理工学術院, 講師(任期付) (60822484)
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| 研究期間 (年度) |
2019-04-01 – 2022-03-31
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| キーワード | 測地カレント / カスプ付き双曲曲面 / サブセットカレント / 稠密性定理 |
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| 研究実績の概要 |
カスプ付き双曲曲面上の測地カレント空間およびその拡張であるサブセットカレント空間について研究を行ってきた．いずれの空間に関しても稠密性定理が成立するかどうかは未解決で有ったため，その解決を目標としていた．前年度の段階で測地カレントにおける稠密性定理の証明を確立していたが，今年度はさらにサブセットカレントの場合でも稠密性定理が成立することを証明することができた．加えて，これらの結果は，論文にまとめ雑誌に投稿し査読の段階まで進めることができた．
測地カレントの概念は曲面上の閉測地線の概念の測度論的一般化であり，非常に自然なものである．近年ではMirzakhaniによって閉測地線の長さに関する漸近的分布が研究され，漸近的振る舞いを簡潔な極限の等式で表わすことに成功した．当初この研究は単純閉測地線の場合に行われ，そこで測度付き測地線層（単純閉測地線の測度論的一般化）が利用されており，その結果を自然に拡張したものである．そして，近年も類似の研究がErlandssonやMondelloらによって行われ，測地カレントの有用性が再認識されている．これらの研究ではコンパクト双曲曲面に限定している場合がほとんどであり，カスプ付き双曲曲面に関する本研究は今後この分野に大きく寄与することが期待できる．
また，サブセットカレントは被覆空間の凸芯の概念の拡張とも言えるものであるが，測地線よりも複雑な対象であることから研究手法などはあまり発展していない．しかしながら，本研究では測地カレントの振る舞いを調べる上でサブセットカレントを活用する方法を見出すことに成功した．加えて，稠密性定理も成立することから将来的にはさらなる応用も期待できる．
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| 現在までの達成度 (区分) |
現在までの達成度 (区分)
1: 当初の計画以上に進展している
理由
当初の大きな目標であった，測地カレントおよびサブセットカレントの稠密性定理を証明することができ，加えて論文を投稿し査読の段階まで進められたため，計画は十二分に達成されていると言える．
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| 今後の研究の推進方策 |
カスプ付き双曲曲面とコンパクトな双曲曲面のカレントの理論の関連性を調べることを計画している．カスプ付き双曲曲面の場合，カスプの穴を強引に開け，そこに境界を付けることによって自然にコンパクト化可能である．このコンパクト化によってカレントがどのように変化するかということを調べていく予定である．特に，このときCannon-Thurston写像という写像が誘導され，それによって二つの曲面の測地カレント空間の間に自然な対応が得られる．この写像を通して，両者の性質を調べる予定である．特に，カスプ付きの場合はこれまでの研究で，連続拡張定理との相性が悪いことが分かっているため，この問題をコンパクト双曲曲面上のカレントの空間との関連性を利用して解決したいと考えている．
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| 次年度使用額が生じた理由 |
新型コロナウイルスの流行により研究集会の中止などの大きな影響を受けたため．
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