| 研究実績の概要 |
本研究では, 主にある種の角のある系における指数理論の展開に取り組む. 物性物理学で盛んに研究されている高次トポロジカル絶縁体と指数理論の接点を通した多様な展開を模索すると同時に, 高次トポロジカル絶縁体研究への応用のための数学的理論の整備も目的とする. 本年度は離散的な角のある系において定義される四半面Toeplitz作用素について, その指数公式の研究に取り組んだ. 特に物性物理学への応用を念頭に, 背後にある幾何学的描像がより明示的な形で指数公式を導出した.
四半面Toeplitz作用素の表象は二次元トーラス上の(行列値)関数で与えられる. 特に表象が二変数の有理関数を成分に持つ行列で与えられるとき, Gohberg-Kreinによる行列分解の手法によって, 表象をある正則性を持った行列値関数の積の形に分解することができる. Duducavaはこの分解を用いた解析的手法によって四半面Toeplitz作用素の指数公式を導出している. 本年度はDuducavaのアイディアを幾何的立場から検討し, Fredholmな四半面Toeplitz作用素であって表象が二変数の有理関数を成分に持つ行列で与えられるものに対して, 二次元トーラス上の表象を行列分解の各成分の解析接続によって三次元球面上に(可逆な行列として)拡張したものの三次元的な回転数によってFredholm指数を表示する指数公式を導出した. さらにこの結果をある種の実構造を保つ場合, 族の指数の場合へと, (複素または実)K理論を用いて拡張した. これにより四半面Toeplitz作用素のFredholm指数の背後にある幾何的描像がより明確になったと共に, 高次トポロジカル絶縁体への応用に関してもコーナー状態と関連したトポロジーの具体的計算に一つの方針を得た.
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| 現在までの達成度 (区分) |
現在までの達成度 (区分)
2: おおむね順調に進展している
理由
本年度に導出した四半面Toeplitz作用素の指数公式において, 行列分解の手法と解析接続を用いた議論により, 背後にある幾何的な描像がより一層明確になった. 本年度の研究により三次元球面などの幾何的対象を確認できたことは, 四半面Toeplitz作用素の指数理論や高次トポロジカル絶縁体におけるトポロジーの議論への我々のアプローチにおいて, より幾何学的な議論の可能性が得られたものと考えられ, このことは当初の目的に沿うものである.
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| 今後の研究の推進方策 |
本年度に得られた指数公式により, 四半面Toeplitz作用素の指数理論について本研究の当初の期待以上に明示的な幾何学的描像を得ることができた. ここで得られた描像は, 物性物理学における高次トポロジカル絶縁体の研究で行われている議論等を数学的・幾何学的に理解するための一つの方針を与える可能性がある. このため最終年度である次年度は, 当初予定していた研究の一部に取り組むと同時に, 当初の予定からはやや逸れるが, 物性物理学における高次トポロジカル絶縁体の議論への数学的アプローチに取り組み, 四半面Toeplitz作用素等の具体的対象における理解の深化を通して, 角に対する指数理論のさらなる幾何学的理解や展開を模索する研究を行う.
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