| 研究実績の概要 |
1. スペクトル次元が2, すなわち熱拡散の速度の意味でちょうど2次元的であるような無限連結グラフ上のランダムウォークの訪問点の個数の長時間挙動について研究し, その内容を論文にまとめ投稿し, 学術雑誌に受理された. Dvoretzky-Erdosによる2次元整数格子の場合の大数の強法則を拡張する形である. スペクトル次元が2であるような無限グラフ上のランプライターランダムウォークの出発点からの距離についての漸近挙動に応用できる. また方法はロバストなものであり, スペクトル次元が2のランダムなグラフ（Bernoulli型パーコレーション, uniform infinite planar triangulationなど）の場合にも大枠では適用しうると思われる. 2次元整数格子の場合の大数の強法則の別解である.
2. 2019年5月上旬に神戸大学を訪ね, British Colombia大のMathav Murugan氏とグラフ上のジャンプ型のランダムウォークの性質, 特に強再帰的である場合と弱再帰的である場合の「境界」に相当するところについて, 熱核評価, 到達確率等の基本的で重要な対象について議論を行った.
3. 2019年8月上旬に九州大学を訪ね, Warwick大のQuirin Vogel氏とグラフ上でランダムウォークがジャンプをもつ場合の訪問点の個数について議論を行った.
4. 2019年9月上旬に日本大学を訪ね, 久保田直樹氏と整数格子上のBernoulli型パーコレーション上のランダムウォークの訪問点の個数の漸近挙動について議論を行った. まずは最も基本的な量である期待値の挙動について考察した.
|
| 今後の研究の推進方策 |
1. グラフ上でランダムウォークがジャンプをもつ場合の訪問点の個数, 特に強再帰的である場合と弱再帰的である場合の「境界」に相当するところの詳細な結果を得ることを目指す.
2. ある種の有限グラフ上のランプライターランダムウォークのグラフの定常測度への分布収束について, サイズを大きくするときの極限についてカットオフ現象が起こることが示されている. ただしスペクトル次元が2であるようなグラフの場合は未解決であるので, 今年度の研究で得た知見を生かして解決することを目指す.
3. 連続版であるDirichlet空間の場合のWienerソーセージの場合も対応する結果（大数の強法則）が成立すると期待されるが, 技術的にクリアしなければならない点があるので新しい方法を試す.
|
