| 研究課題/領域番号 |
19K14552
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| 研究機関 | 岡山大学 |
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研究代表者 |
田口 大 岡山大学, 異分野基礎科学研究所, 准教授 (70804657)
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| 研究期間 (年度) |
2019-04-01 – 2023-03-31
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| キーワード | 経路依存型確率微分方程式 / 非衝突確率過程 / Euler-Maruyama近似 / 確率密度関数 |
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| 研究実績の概要 |
本研究の目的は, 非有界な係数を持つ(経路依存型) 確率微分方程式と非衝突確率過程の「数値計算方法の構成と誤差評価」と「密度関数の解析」を研究することである。現在、以下の2点についての研究成果を得ている：①非有界係数の場合の密度の評価とその数値解析、②数理ファイナンスなどで現れる非滑らかなテスト関数に対する確率微分方程式の数値解析とMultilevel Monte Carlo methodへの応用(Avikainenの不等式の拡張)。
①については、田中章博氏（大阪大学）との共同研究である。これまで密度関数の研究は、確率微分方程式の係数が有界である場合に広く研究されてきたが、Girsanovの定理を局所的に用いることでその問題点を改善し、密度関数のガウス型の評価とそれを用いて、確率微分方程式の解の離散近似の誤差評価を得た。本研究の結果は、Stochastic Processes and their Applicationsに掲載が決定している。
②については、田中章博氏（大阪大学）と湯浅智意氏（立命館大学）との共同研究である。これまでAvikainenの不等式は1次限の場合にのみ証明されていた。その理由は、主にSkorokhodの表現定理を用いた確率変数の表現が、1次限の場合にのみ具体的に可能であるという点から来ている。本研究では、その代わりに実解析等で用いられているハーディ-リトルウッドの極大関数とHajlaszによって証明されたソボレフ空間の特徴づけを用いて、多次元の場合にまで拡張を行った。これにより、例えば多次元の確率過程が滑らかな領域に滞在する確率をMultilevel Monte Carlo methodを用いて効率的に行うことが可能となる。本研究の結果は、学術雑誌に投稿済みである。
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| 現在までの達成度 (区分) |
現在までの達成度 (区分)
2: おおむね順調に進展している
理由
非衝突確率過程の数値解析に関する研究については、Hoang-Long Ngo氏（Hanoi National University of Education）との共同研究中であり、より一般的な確率過程であるRadial Dunkl processに対する離散近似手法を導入し、その精密な誤差評価を得ることができている。しかしながら、現在考えている数値計算手法は、制限付き多元連立多項式の数値計算が必要な方法であり、この点が非衝突確率過程の数値計算が難しい理由の一つである。
非有界な係数を持つ(経路依存型) 確率微分方程式と非衝突確率過程の密度関数に関する研究については、研究実績の概要でも述べた②と関連して研究を行っている。②研究を行ったAvikainenの不等式を適用するためには、確率微分方程式の解の密度関数が有界であるという条件が必要になる。しかし、現在研究を行っている確率過程に対しては、密度関数の存在と有界性を保証する結果はあまり知られていない。そこで、(多次元の)Avikainenの不等式を密度関数の有界性を用いない形（例えば、L^{p}-可積分性など）で証明できないか研究中である。さらに、密度関数の可積分性やregularityとAvikainenの不等式の関係についても研究中である。
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| 今後の研究の推進方策 |
非衝突確率過程の数値解析に関する研究について、制限付き多元連立多項式の数値計算のために、代数方程式に関するグレブナー基底や関数の最小値を求める問題に置き換えることで、確率勾配法などを用いた計算方法が適用できないか検討中である。さらに制限付き多元連立多項式の数値計算を必要としない数値計算方法の導入も検討中である。
Avikainenの不等式と密度関数の研究については、Besov空間論を用いた研究手法が有用であると考えている。近年、Romito氏によって導入されたone-step Euler-Maruyama近似を用いた方法によって、適当な条件を満たせば、確率微分方程式の解に密度関数が存在し、さらにあるBesov空間に属することが知られている。この方法は非常に適用範囲の広い方法であるため、この手法を非有界な係数を持つ(経路依存型) 確率微分方程式と非衝突確率過程に適用し、密度関数の可積分性やregularityを研究できると考えている。
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| 次年度使用額が生じた理由 |
コロナウイルスの影響等で、研究集会の中止が重なり、次年度に繰り越すことになった。
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