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2019 年度 実施状況報告書

GKZ超幾何函数の積分表示に関する研究

研究課題

研究課題/領域番号 19K14554
研究機関神戸大学

研究代表者

松原 宰栄  神戸大学, 理学研究科, 特命助教 (70834381)

研究期間 (年度) 2019-04-01 – 2022-03-31
キーワードGKZ超幾何函数 / 積分表示 / 交叉理論 / 急減少ホモロジー群 / モノドロミー表現
研究実績の概要

本研究はGKZ超幾何函数と呼ばれる特殊函数の積分表示の理論を研究して、大域解析及び漸近解析を完成することを目標とする。本年度は主に(コ)ホモロジー交叉数の研究とGKZ系の大域解析について進展が得られた。
1.Euler-Laplace積分表示と交点理論:現在までに、Euler-Laplace型積分表示に付随する急減少ホモロジー群の基底を、収束三角形分割Tから組み合わせ的に構成する方法を確立した。(a)小樽商大の後藤良彰氏との共同研究により、Tの単模性を仮定せずにEuler型積分表示のホモロジー交叉数を完全に決定した。応用として種々のGKZ超幾何函数の二次関係式を得た。(b)急減少ホモロジー群の交叉理論を一般に定式化し、Tが単模の場合にEuler-Laplace型積分表示のホモロジー交叉数を決定した。応用として木村-原岡-高野の多変数超幾何函数の二次関係式を得た。(c)上記の研究の応用として、パラメーターが実の場合のGKZ系はモノドロミー不変エルミート形式を持ち、その符号数が正則三角形分割の組み合わせ論から記述できること(F.Beukers氏による予想)を示した。
2.モノドロミー不変部分空間の無限階差分作用素による記述:M.-C. Fernandez-Fernandez氏のアイデアに基づき、不確定特異点型GKZ系のモノドロミー表現を、パラメーターに対する仮定の下で既約分解する方法を与えた。
3.三角形分割の合流:特殊函数論における標準的操作である、合流操作をGKZ系の文脈で定義した。さらに付随する二次扇、正則三角形分割の合流も定式化し、いくつかの計算例をも得た。

現在までの達成度 (区分)
現在までの達成度 (区分)

1: 当初の計画以上に進展している

理由

交叉理論の整備が不確定特異点型(Euler-Laplace型)まで込めて一層進んだ。さらに、モノドロミー不変部分空間の記述、三角形分割の合流は次年度以降のGKZ超幾何函数の大域、漸近解析において基本的な役割を果たすものと予想される。

今後の研究の推進方策

1.交叉理論:パラメーターが実の場合には、多変数超幾何積分は偏極ホッジ構造を持つであろうことが、花村-吉田らによって示唆されている。これはRiemannの不等式の存在を示唆しており、モノドロミー表現に対する強い制約を与える。これをGKZ系の枠組みで記述することは、大域解析に寄与するはずである。
2.モノドロミー表現:最近J.Forsgard氏により、amoebic fundamental groupが定義された。これはGKZ超幾何系の基本群をほぼ捉えているものと理解できる。申請者の接続問題に関する結果を記述するために、amoebic fundamental groupoidを定義することで、大域解析をより深く理解できると期待される。
3.合流:現在まで、合流操作は組み合わせ的レベルで定義されているに過ぎない。これを級数や積分路のレベルまで定式化することにより、漸近解析への手がかりにしたい。

次年度使用額が生じた理由

新型コロナウイルスの流行により、研究出張が中止となり、残額が生じた。次年度の旅費や書籍購入費用に充当する予定である。

  • 研究成果

    (9件)

すべて 2020 2019 その他

すべて 国際共同研究 (1件) 雑誌論文 (2件) (うち査読あり 2件、 オープンアクセス 1件) 学会発表 (6件) (うち国際学会 4件、 招待講演 4件)

  • [国際共同研究] University of Seville(スペイン)

    • 国名
      スペイン
    • 外国機関名
      University of Seville
  • [雑誌論文] On Mellin-Barnes integral representations of GKZ hypergeometric functions2020

    • 著者名/発表者名
      Saiei-Jaeyeong Matsubara-Heo
    • 雑誌名

      Kyushu Journal of Mathematics

      巻: 74 ページ: unknown

    • 査読あり
  • [雑誌論文] GG system and its application to connection problem of GKZ hypergeometric functions2020

    • 著者名/発表者名
      Saiei-Jaeyeong Matsubara-Heo
    • 雑誌名

      Josai Mathematical Monographs

      巻: 12 ページ: 69-80

    • 査読あり / オープンアクセス
  • [学会発表] 二次扇の合流について2020

    • 著者名/発表者名
      松原宰栄
    • 学会等名
      超幾何方程式研究会2020
    • 招待講演
  • [学会発表] Intersection numbers of Euler-Laplace integrals2020

    • 著者名/発表者名
      Saiei-Jaeyeong Matsubara-Heo
    • 学会等名
      Monodromy and Hypergeometric Functions
    • 国際学会 / 招待講演
  • [学会発表] GKZ系の境界値問題とモノドロミー不変部分空間2019

    • 著者名/発表者名
      松原宰栄
    • 学会等名
      函数方程式論サマー セミナー2019
    • 招待講演
  • [学会発表] Connection problem of GKZ hypergeometric functions2019

    • 著者名/発表者名
      Saiei-Jaeyeong Matsubara-Heo
    • 学会等名
      Orthogonal Polynomials, Special Functions and its Applications (OPSFA2019)
    • 国際学会
  • [学会発表] Boundary value problem and GKZ systems2019

    • 著者名/発表者名
      Saiei-Jaeyeong Matsubara-Heo
    • 学会等名
      Formal and Asymptotic Solutions of Functional Equations (FASFE19)
    • 国際学会
  • [学会発表] Computing cohomology intersection numbers of GKZ hypergeometric systems2019

    • 著者名/発表者名
      Saiei-Jaeyeong Matsubara-Heo
    • 学会等名
      Mathemamplitude
    • 国際学会 / 招待講演

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公開日: 2021-01-27  

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