| 研究課題/領域番号 |
19K14561
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| 研究機関 | 東京理科大学 |
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研究代表者 |
田中 亮太朗 東京理科大学, 基礎工学部教養(長万部), 講師 (90826463)
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| 研究期間 (年度) |
2019-04-01 – 2023-03-31
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| キーワード | バナッハ空間 / Birkhoff直交性 / Birkhoff-James直交性 / 強Birkhoff直交性 / 強Birkhoff-James直交性 / リプシッツ収縮写像 |
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| 研究実績の概要 |
バナッハ空間の構造理論を精密化するためには、古くからよく研究されてきた種々の幾何構造に加え、近年盛んに研究されているリプシッツ構造や距離構造などの粗い非線形構造を解析する必要がある。本研究課題では、リプシッツ構造を中心に、種々の非線形構造がバナッハ空間を形作るうえでどのように影響しているのかを総合的に調査・研究する。この方針の下、今年度は、次のような成果を得た。
（１）フォン・ノイマン環のノルム閉な両側イデアルが環全体のリプシッツretractであることを示し、これにより、ヒルベルト空間上の有界線形作用素が成すフォン・ノイマン環において、コンパクト作用素が成すイデアルがリプシッツretractであることを示した。これは、二重双対空間の中でリプシッツretractとなるバナッハ空間の新たな例を与えるとともに、今まであまり論じられてこなかった、非可換なC*環のリプシッツ構造に関する研究の例を示す。
（２）（一般には異なる）ヒルベルト空間の間の有界線形作用素が成すC*加群において、強Birkhoff直交性に関する右対称点と左対称点を特徴付けた。これは、C*環でないC*加群において、強Birkhoff直交性の対称性を具体的に明らかにした初めての研究である。
（３）Birkhoff直交性が対称となる２次元実ノルム空間（ラドン空間と呼ばれる）を、一般化されたDay-James空間を用いて特徴付けた。同種の研究はこれまでにも多く見られるが、我々の方法は、多くの場合具体的に計算可能で、バナッハ空間の単位球の形状に関わる種々の幾何学的定数の計算にも応用が見込まれるという利点を持つ。
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| 現在までの達成度 (区分) |
現在までの達成度 (区分)
2: おおむね順調に進展している
理由
非可換なC*環でリプシッツ構造に関する成果が得られたことに加え、（強）Birkhoff直交性への理解も十分に深められた。これらは、今後予定されているリプシッツ同型や新たな非線形同型の研究への足掛かりとして、十分機能すると思われる。
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| 今後の研究の推進方策 |
次年度は、リプシッツ同型や一様同型などの非線形同型が保存し得るバナッハ空間の性質を研究するとともに、非線形構造により本質的に決定される新たなバナッハ空間の探求や、非線形同型によるバナッハ空間の分類にも取り組む。
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| 次年度使用額が生じた理由 |
２０１９年末から２０２０年始にかけて発生した研究成果発表費用（オープンアクセス化）の支払いに伴い、少々残額に余裕を持って運用していたため。また、オープンアクセス化費用の清算後は年度末に掛かり、残額も少額であったため、無理に使用をせず次年度の書籍購入費等にあてるよう企図していた。
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