| 研究課題/領域番号 |
19K14561
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| 研究機関 | 東京理科大学 |
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研究代表者 |
田中 亮太朗 東京理科大学, 教養教育研究院葛飾キャンパス教養部, 講師 (90826463)
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| 研究期間 (年度) |
2019-04-01 – 2023-03-31
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| キーワード | バナッハ空間 / Birkhoff-James直交性 |
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| 研究実績の概要 |
バナッハ空間の構造理論の研究は、特殊な構造に基づく詳細な研究の可能性を提供する点で、関数解析を基礎とする様々な分野にとって重要である。昨今、当該分野においては、非線形構造の研究が盛んに行われており、種々の非線形写像による同型の概念や、それらに基づくバナッハ空間の分類理論が発展させられている。本研究課題では、バナッハ空間の構造を解析する上で有用と思われる新たな非線形構造の発見や、それらに基づく同型の新概念の研究を通して、バナッハ空間の構造理論の更なる精密化を目指している。本年度は、特に、幾何的な観点からの進展が見られ、次の研究成果を得た。
（１）バナッハ空間の幾何構造と関連が強いBirkhoff-James直交性に基づき、バナッハ空間の非線形同型の概念を導入した。また、この同型概念のもとで、有限次元が移りあうこと、回帰的平滑バナッハ空間が有界線形同型の意味で分類されること、および３以上の次元を持つヒルベルト空間が等距離的に決定されることを示した。さらに、実２次元の場合には、平滑ラドン空間がBirkhoff-James直交性の構造に関してすべて同型となることを示した。
（２）フォン・ノイマン環の設定で強Birkhoff-James直交性に基づく非線形同型を研究し、I型因子環を強Birkhoff-James直交性の振る舞いをもとに特徴付けた。また、これにより、I型因子環がフォン・ノイマン環の中で強Birkhoff-James直交性の構造から決定されることを示した。
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| 現在までの達成度 (区分) |
現在までの達成度 (区分)
2: おおむね順調に進展している
理由
本研究の主目的は、バナッハ空間の非線形構造やそれらに基づく非線形同型の研究を通して、バナッハ空間の性質の本質を解明することである。2021年度は、2020年度から研究を進めていた（強）Birkhoff-James直交性に基づく非線形同型の研究が形になり、２編の論文として出版された。さらに、当該研究については、現在１編の論文が掲載受理の状態にあり、蓄積された他の結果についても、論文として順次公表していく予定である。以上のことから、研究はおおむね順調に進展していると言える。
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| 今後の研究の推進方策 |
今後の研究では、バナッハ空間におけるBirkhoff-James直交性に基づく非線形分類理論の精密化と、ヒルベルトC*加群における強Birkhoff-James直交性が定める有向グラフの解析を行う。また、Birkhoff-James直交性に関する研究の副産物である「バナッハ空間の幾何学的構造空間」について解析を進め、非線形分類理論への応用を目指す。
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| 次年度使用額が生じた理由 |
新型コロナウイルス感染症の影響により、参加を予定していた学会、研究集会、研究打合せ等に支出予定であった旅費が執行できなかったため、次年度使用額が生じた。2022年度予算については、計画に合わせた研究資材の購入と、論文のオープンアクセス化のための支出を予定している。また、社会情勢が改善した暁には、積極的に学会等に参加し、研究成果の発表を行う。その際には、旅費の支出割合が大きくなる予定である。一方で、2022年度は、新型コロナウイルス感染症に加えて戦争による混乱も予想されるため、国外出張については引き続き慎重に検討したい。
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