| 研究課題/領域番号 |
19K14561
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| 研究機関 | 東京理科大学 |
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研究代表者 |
田中 亮太朗 東京理科大学, 教養教育研究院葛飾キャンパス教養部, 准教授 (90826463)
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| 研究期間 (年度) |
2019-04-01 – 2024-03-31
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| キーワード | バナッハ空間 / Birkhoff-James直交性 / 非線形同型 / 非線形分類 |
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| 研究実績の概要 |
本研究の目的は、バナッハ空間の種々の同型（写像）の研究を通して、バナッハ空間の同型理論を発展させることである。特に、「種々の非線形構造がバナッハ空間全体に与える影響」の観点からバナッハ空間の非線形構造の解析を進め、新たな非線形同型の導入、および、それらのもとでのバナッハ空間の分類を行う。2022年度は、2021年度に得られた研究成果に基づき、バナッハ空間の幾何的非線形分類理論を発展させた。
（１）2021年度の研究で導入された「バナッハ空間のBirkhoff-James直交構造に基づく非線形同型（以下、「BJ同型」という）」について、BJ同型写像の不変量である「幾何学的構造空間」の概念を新たに導入し、その解析に基づいて、連続関数空間や古典的数列空間がBJ同型の下で分類されることを示した。
（２）3以上の次元を持つ平滑実バナッハ空間においては、BJ同型は等距離同型と同等であることが知られていたが、平滑性の仮定を除いた場合には、2以上のすべての次元において、BJ同型であるが等距離同型でないような実バナッハ空間のペアが構成できることを示した。
（３）バナッハ空間の幾何学的構造空間に基づき、BJ同型よりも弱いバナッハ空間の非線形同型を導入し、その下でも、連続関数空間や古典的数列空間が分類されることを示した。また、回帰的平滑バナッハ空間においては、幾何学的構造空間に基づく同型は、通常の（有界線形）同型と凡そ同等であることを示した。より正確に言えば、幾何学的構造空間に基づく同型は、回帰的平滑実バナッハ空間においては通常の同型と同等であり、回帰的平滑複素バナッハ空間においては、通常の同型および共役同型の論理和と同等である。
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| 現在までの達成度 (区分) |
現在までの達成度 (区分)
2: おおむね順調に進展している
理由
2022年度は、2021年度の研究成果を順調に発展させることができ、バナッハ空間の幾何的非線形分類の理論において一定の実績が得られた。また、関連する研究成果も論文として投稿中であり、本研究課題は、国際共同研究等により現在も継続的に発展させられている。以上のことから、研究はおおむね順調に進展していると言える。
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| 今後の研究の推進方策 |
本研究課題では、バナッハ空間の幾何的非線形同型理論において、予想よりも大きな成果を得ている。今後の研究では、バナッハ空間の幾何構造の解析を更に進め、バナッハ空間のBJ同型や幾何学的構造に基づく同型についての理論を整備・発展させる。特に、p乗可積分関数空間や作用素環の幾何的分類に取り組むとともに、Arambasicらよって導入された「di-orthographに関する同型」とBJ同型との関係性を明らかにし、バナッハ空間の幾何的分類理論の諸結果を整理する。
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| 次年度使用額が生じた理由 |
新型コロナウイルス感染症の影響により、特に、学会、研究集会、研究打合せ等に支出予定であった旅費が十分に執行できなかったため、次年度使用額が生じた。2023年度は、新型コロナウイルス感染症の影響が和らいだため、研究の遂行に必要な出張を計画的に行うとともに、国外の研究者を招聘して共同研究を行うことも視野に入れる。また、研究資材の購入と論文のオープンアクセス化については、研究の進展に合わせて継続的に行う。
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