| 研究課題/領域番号 |
19K14562
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| 研究機関 | 日本大学 |
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研究代表者 |
梅田 耕平 日本大学, 理工学部, 助教 (80801042)
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| 研究期間 (年度) |
2019-04-01 – 2023-03-31
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| キーワード | 佐藤超関数 / ラプラス変換 / 代数解析 / ラプラス超関数 / コホモロジー |
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| 研究実績の概要 |
本研究課題は層係数コホモロジー群の理論に基づく代数解析的手法により、多変数佐藤超関数に対するラプラス変換の理論の確立を目指すものである。本研究の目的は、無限遠方で指数型の増大度制限をもつ正則関数に対する層係数コホモロジー群の諸性質を解明し、直積型の指数型正則関数に対する楔の刃定理を確立することにより直積型多変数ラプラス超関数とそのラプラス変換を構築することである。この理論により無限遠方で増大度条件を課さない関数に対してもラプラス変換の適用が可能となる。本年度は、ジュブレークラスの増大度制限付きホイットニー正則関数に対する楔の刃定理を確立した。この定理は1-regularと呼ばれる幾何的条件を加えた解析的多面体上に台を持つホイットニー関数に対するコーシー・リーマン複体が空間次元の次数に集中するという事実を与える。例えば角領域上でコーシー・リーマンの関係式を満たすホイットニー関数は漸近展開可能な正則関数を与えるので、意義ある一つの結果であると言える。また、楔の刃定理により、ホイットニー正則関数に対するマイクロ関数を構成することが可能となる。本結果は2019年11月に京都数理解析研究所で開催されたシンポジウム「Microlocal Analysis and Asymptotic Analysis 」で講演発表を行った。指数型正則関数に対する各種のコホモロジー群の消滅定理が成立する為には、領域のシュタイン性だけでは十分ではないことが知られており、領域の無限遠方における条件の考察が必要不可欠である。関連する結果として、指数型正則関数に適するGrauert型の定理を示した論文「Intuitive representation of local cohomology groups by D. Komori and K. Umeta」がある。現在、JMSJにおいて印刷準備中である。
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| 現在までの達成度 (区分) |
現在までの達成度 (区分)
2: おおむね順調に進展している
理由
本研究は、多変数超関数に対するラプラス変換論の研究だけではなく、多変数複素解析論における領域の特徴付けや増大度制限付き正則関数に対する基礎的な研究としても意義を持つ。研究実績の概要で述べたように、本年度はジュブレークラスのホイットニー正則関数に対する楔の刃の消滅定理を確立することが出来た。定理が成立するための幾何的な条件など多変数複素関数論的に興味深い結果が得られた。定理の証明は局所凸空間の理論や層係数コホモロジー群の理論を用いた代数解析的な手法に基づくものである。証明の手法やアイデアは、直積型の指数型正則関数に対する様々なコホモロジー群の消滅定理の証明に適用可能であると予想される。また、ホイットニー正則関数に対する楔の刃の定理の漸近解析への応用が本研究課題であるラプラス変換の研究と有機的に繋がることが期待できる。以上の理由により研究は「おおむね順調に進展している」と判断した。
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| 今後の研究の推進方策 |
次年度の最初の目標は直積空間上の指数型正則関数層に対するシュタイン開集合上の大域的コホモロジー群の消滅定理の証明に取り組む。ヘルマンダーのデルバー作用素に対するL^2-評価の手法を用いて, 直積型の指数型増大度を持つ局所可積分関数による指数型正則関数の層の軟弱分解の構成を試みる。また、定理が成立するための開集合の幾何的条件についての特徴付けを詳しく考察していきたい。同時に本年度の研究成果を論文にまとめて投稿する予定である。
次にコホモロジー群の消滅定理を用いて直積型の指数型正則関数に対する楔の刃定理の確立に取り組む。楔の刃定理こそが、 直積型のラプラス超関数の本質を表すものであり、大変重要な結果である。直積型の楔の刃定理については、通常の正則関数に対する楔の刃の定理の証明手法を参考に、直積因子の個数に関する帰納法で計算を試みる。このとき、直積型の指数型正則関数に対するMartineau型の定理と正則パラメータ付きの１変数ラプラス超関数層の正則パラメータに関する一意接続性が鍵を握っていると予想される。
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| 次年度使用額が生じた理由 |
新型コロナウィルスの影響により３月に出張を予定していた2つの研究集会が急遽中止になったため、9万円程の次年度使用額が発生した。次年度に研究集会、研究打ち合わせの旅費として使用する予定である。
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