| 研究課題/領域番号 |
19K14562
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| 研究機関 | 日本大学 |
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研究代表者 |
梅田 耕平 日本大学, 理工学部, 准教授 (80801042)
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| 研究期間 (年度) |
2019-04-01 – 2025-03-31
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| キーワード | 佐藤超関数 / ラプラス変換 / ラプラス超関数 / 代数解析 / 層係数コホモロジー |
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| 研究実績の概要 |
令和５年度は、直積型の指数型正則関数に対する楔の刃型の定理の確立を目指して、直積型の指数型正則関数層に対する擬凸領域上の大域的コホモロジー群の消滅定理の証明に取り組んだ。非直積型の指数型正則関数層は、n次元複素ユークリッド空間に方向別無限遠点を付け加えてコンパクト化された境界付き位相多様体上で定義される。先行研究として非直積型の指数型正則関数層に対する大域的コホモロジー群の消滅定理の結果を得ているが、その結果を境界付き位相多様体の直積上の指数型正則関数層に対する結果へと拡張することは容易ではなく難しい問題である。指数型2乗局所可積分関数による指数型正則関数層の軟弱分解の構成を試みたが問題解決に至らなかった。重要な問題であると考えるため、次年度も引き続き問題に取り組む。また、無限遠方で劣指数型の増大度を持つ正則関数を係数に持つKoszul複体の完全性は、定数係数偏微分方程式のラプラス超関数解の可解性を与える。複体の0次と1次についての完全性は確立されているが、その他の次数についての完全性は確立していない。その完全性を示すには劣指数型正則関数層に対する各種のコホモロジー群が消滅することが必要となり、その計算に取り組んだ。こちらの問題も次年度に引き続き研究を進める予定である。
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| 現在までの達成度 (区分) |
現在までの達成度 (区分)
3: やや遅れている
理由
本研究で扱われる指数型正則関数の空間は、双対フレッシェ空間の系列の射影極限として得られる局所凸位相を持ち複雑なため、位相的な手法を用いて研究を進めるのは困難である。また、直積型の指数型正則関数はn次とm次複素ユークリッド空間に方向別無限遠点を付け加えてコンパクト化した空間の直積空間上で定義されるが、その直積空間は(n+m)次複素ユークリッド空間をコンパクト化した空間に直接埋め込むことが出来ない。そのため、既に得ている非直積型の指数型正則関数に対する結果を直積型に対する結果へ拡張することは容易ではない。その困難性により、予定していた直積型指数型正則関数層に対する擬凸領域上の大域的相対コホモロジー群の消滅定理を確立するまでには至らなかった。以上の理由により、研究はやや遅れているとした。
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| 今後の研究の推進方策 |
引き続き、直積型の指数型正則関数層に対する擬凸領域上の大域的コホモロジー群の消滅定理の証明と楔の刃型の定理の確立に取り組む。非直積型の大域的コホモロジー群の消滅定理において、領域の無限遠方においてある幾何的条件を課さなければ定理が成り立たなくなるような反例が存在する。直積型においても領域に同様の条件を課す必要があることが予想される。定理が成り立つための領域の特徴付けについてよく考察し、定理の確立を目指す。また、劣指数型正則関数を係数に持つKoszul複体の完全性の確立についての研究も推し進める予定である。
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| 次年度使用額が生じた理由 |
次年度使用額が生じた理由は、新型コロナウィルスの影響により、2020年,2021年に予定していた研究集会及び研究打ち合わせが全て行えない状況であったためである。次年度に研究集会、研究打ち合わせの旅費として使用する予定である。
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