| 研究課題/領域番号 |
19K14564
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| 研究機関 | 北海道大学 |
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研究代表者 |
浜向 直 北海道大学, 理学研究院, 准教授 (70749754)
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| 研究期間 (年度) |
2019-04-01 – 2023-03-31
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| キーワード | 粘性解 / 完全非線形放物型方程式 / 平均曲率流方程式 / ハミルトン・ヤコビ方程式 / 比較定理 / 勾配評価 |
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| 研究実績の概要 |
物質間の境目として現れる「界面」の運動を記述する非線形放物型偏微分方程式に対する、初期値・境界値問題の数学解析を主な研究内容とする。典型的には、平均曲率流方程式のような特異構造を持つ方程式の問題や、不連続性を伴う問題を扱う。微分方程式の弱解の概念の一つである粘性解の理論に基づき、解の存在と一意性や、解の漸近挙動などを研究する。本研究を通し、界面発展現象を記述する非線形偏微分方程式に数学的な基礎付けを与えること、そして粘性解理論を深化・発展させることを目指す。
令和２年度は、次のことを研究した。
・完全非線形放物型方程式の粘性解に対する、空間リプシッツ定数の下からの評価：初期値問題の粘性解の、空間変数に関するリプシッツ係数について調べた。特に、リプシッツ係数が、初期時刻付近で時間変数についてどのようなレートで変化するかを解析した。微分不可能なヘルダー連続関数を初期値として取り、一様放物型方程式や強圧的ハミルトン・ヤコビ方程式などの、解のリプシッツ正則化が起きる方程式を典型例として考えた。このリプシッツ係数の上からの評価は従来知られていたが、下からの評価や、その最適性については、解の表示が可能な一部の線形方程式とハミルトン・ヤコビ方程式に対してしか知られていなかった。本研究では、特異性も許容するより広いクラスの方程式の解に対し、最適な下からの評価を導くことができた。熱方程式の解を適当にスケール変換することで、方程式の劣解と優解を構成し、それを解と比較して勾配評価する手法を取った。
本研究は、吉川卓氏との共同研究である。
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| 現在までの達成度 (区分) |
現在までの達成度 (区分)
2: おおむね順調に進展している
理由
今年度遂行したリプシッツ評価の研究では、先行結果である2018年の藤田氏の結果を、様々な面において一般化できた。まずは方程式のクラスである。従来は解の表示公式に頼る手法だったが、今回の手法は比較に基づく。これにより、当初の想定よりも広いクラスの方程式に対し、下からの勾配評価の結果を導くことができた。比較定理が成立する、平均曲率流方程式のような界面発展方程式でも成り立つ。さらには、流体力学に現れる渦度方程式のような、初期時刻で特異性を持つ方程式に対しても結果は適用できる。また初期値としても、広いクラスの関数を取ることができた。特に、先行研究では遠方での増大条件が付いていたが、それを取り外すことに成功した。さらに本結果は、全空間の問題の解、ディリクレ境界値問題の解の両方に適用できる。
以上の成果が得られたことから、おおむね順調な進展と判断した。
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| 今後の研究の推進方策 |
解の勾配を調べる過程で鍵になった、熱方程式の解のスケール変換は、勾配評価以外にも、完全非線形放物型方程式の粘性解の定性的・定量的評価を得るために活用できることが期待できる。そのような応用を探りたい。また今年度は、非ユークリッド空間、特に距離空間・被覆空間上での粘性解の概念や解析手法について、研究準備をした。今後、最適制御に基づく解の表示や、その応用としての漸近挙動の解析などを課題として研究予定である。
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| 次年度使用額が生じた理由 |
理由：感染症拡大に伴う出張キャンセルで、出張費の支出が予定よりも少なくなったため。また印刷費や会議費などの諸経費も抑えられたため。
使用計画：研究情報収集のための書籍や、成果をまとめるための電子機材の購入費等として支出予定である。
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