放物型方程式における解の特異性保持メカニズムの解明

2019 年度 実施状況報告書

• 研究課題/領域番号: 19K14567
• 研究機関: 東京工業大学
• 研究代表者: 高橋 仁 東京工業大学, 情報理工学院, 助教 (40813001)
• 研究期間 (年度): 2019-04-01 – 2023-03-31
• キーワード: 半線形熱方程式 / 多孔質媒体型方程式 / Fast diffusion equation / 特異解 / 特異点 / 非斉次 / 可解性

研究実績の概要

半線形熱方程式と多孔媒質媒体型方程式を対象とし，特異性を保持する解の構成を中心に研究を進めた．半線形熱方程式については，いわゆるSerrin臨界の場合に動的特異点を持つ時間局所解の構成に成功した．この結果はすでに論文としてまとめ，投稿中である．また，特異性を持つ非斉次項を伴う場合の可解性を考察し，解が存在するために非斉次項の許容できる最も強い特異性の特定にも成功した．この研究は石毛和弘氏 (東京大学) と比佐幸太郎氏 (東京大学) との共同研究であり，すでに論文としてまとめ投稿し，掲載が決定している．
多孔質媒体型方程式(含 fast diffusion equation)については，先行研究では扱えていなかった空間次元が2次元の場合を考察し，適切な比較関数を構成することで動的特異点を持つ解を構成した．これはM. Fila氏 (Comenius Univeristy, Slovakia), P. Mackova氏 (Comenius Univeristy, Slovakia), 柳田英二氏 (東京工業大学)との共同研究であり，すでに論文としてまとめ投稿し，掲載が決定している．

現在までの達成度 (区分)

2: おおむね順調に進展している

理由

当初の研究計画とは，取り組む研究対象の順番を若干入れ替えたものの，研究の進展や成果発表については順調であるため．

今後の研究の推進方策

半線形熱方程式に関しては，Serrin臨界での特異解の構成に成功したため，Serrin優臨界の場合を考察する．そのために付随する線形化方程式の解析にも合わせて取り組む．多孔質媒体型方程式に関しては，適切な比較関数の発見を試みることで時間依存高次元特異集合を持つ解を構成する．研究が予想以上に進展した場合はweakly coupledなシステムにおける特異解の分類と構成にも取り組む．

研究成果

• [国際共同研究] Comenius University(スロバキア)
  • 国名: スロバキア
  • 外国機関名: Comenius University
• [雑誌論文] Existence of solutions for an inhomoge- neous fractional semilinear heat equation (2020)
  • 著者名/発表者名: K. Hisa, K. Ishige, J. Takahashi
  • 雑誌名: Nonlinear Anal. 巻: - ページ: -
  • 査読あり
• [雑誌論文] Moving singularities for nonlinear diffusion equations in two space dimensions (2020)
  • 著者名/発表者名: M. Fila, P. Mackova, J. Takahashi, E. Yanagida
  • 雑誌名: J. Elliptic Parabol. Equ. 巻: - ページ: -
  • DOI: https://doi.org/10.1007/s41808-020-00062-0
  • 査読あり
• [雑誌論文] Critical exponents for the fast diffusion equation with a nonlinear boundary condition (2020)
  • 著者名/発表者名: R. Sato, J. Takahashi
  • 雑誌名: J. Math. Anal. Appl. 巻: 482 ページ: 123526, 9pp.
  • DOI: https://doi.org/10.1016/j.jmaa.2019.123526
  • 査読あり
• [学会発表] Existence of solutions with moving singularities for a semilinear heat equation with a critical exponent (2020)
  • 著者名/発表者名: J. Takahashi
  • 学会等名: Seminar on Qualitative Theory of Differential Equations, Comenius University, Slovakia
  • 招待講演
• [学会発表] Existence of solutions with time-dependent singular sets for the heat equation with absorption, Singular Problems, (2019)
  • 著者名/発表者名: J. Takahashi
  • 学会等名: Blow-up, and Regimes with Peaking in Nonlinear PDEs, RUDN University, Russia
  • 国際学会 / 招待講演
• [学会発表] Existence of solutions to an inhomogeneous fractional heat equation (2019)
  • 著者名/発表者名: J. Takahashi
  • 学会等名: Seminar on Qualitative Theory of Differential Equations, Comenius University, Slovakia
  • 招待講演
• [学会発表] Existence of solutions with moving singularities for equations of porous medium type (2019)
  • 著者名/発表者名: 高橋仁
  • 学会等名: Workshop on Nonlinear PDE in Numazu, 沼津市民文化センター
  • 招待講演
• [学会発表] Existence of solutions with time-dependent singular sets for the heat equation with absorption (2019)
  • 著者名/発表者名: J. Takahashi
  • 学会等名: VI Italian-Japanese Workshop “Geometric properties for parabolic and elliptic PDE’s”, Palazzone di Cortona, Italy
  • 国際学会 / 招待講演