| 研究課題/領域番号 |
19K14572
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| 研究機関 | 室蘭工業大学 |
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研究代表者 |
可香谷 隆 室蘭工業大学, 大学院工学研究科, 准教授 (60814431)
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| 研究期間 (年度) |
2019-04-01 – 2023-03-31
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| キーワード | 曲面の発展方程式 / 接触角 / 自由境界値問題 / 漸近挙動 / 偏微分方程式 |
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| 研究実績の概要 |
本研究では，接触角条件付きの曲面の発展方程式の解析を目標としている．本年度は，以下の通りである．
(1)柳青氏(沖縄科学技術大学院大学)との共著として執筆した，発散型のノイマン境界条件を課したグラフ解に対する有界性に関する論文が受理された．内容としては以下の通りである．内部方程式は完全非線形放物型であり，主要項の係数に解の一階微分が不冪として現れる形を想定した方程式を研究対象としている．各時刻における解の有界性はその冪に依存し，ある値を閾値として，有界で連続な関数を初期値とする各時刻で有界な解が構成できる場合と，例え初期値が有界であっても，解が存在すると仮定すると，瞬間的に解が境界で爆発を起こすことを示し，各時刻で有界な解は存在しない場合で分類できることを示した．また，前者の場合には，解は時間大域的で進行波解に収束することを示している．
(2)高棹圭介氏(京都大学)と水野将司氏(日本大学)との共同研究として，三重点を持つネットワークの曲率流に対する解の時間局所存在性理論の構築と漸近挙動解析を行い，論文として投稿した．扱っている方程式は古典的な曲率流方程式とは異なり，結晶方位に相当するパラメータを導入した曲率流方程式を研究対象とした．このパラメータの導入により，解である曲線が三重点で生成する角度は，古典的な曲率流と異なり，時間依存する．それ故に，解の漸近挙動や正則性理論で重要であった変分構造で違いが見られるが，本研究により，変分構造を用いた解析手法は，本研究で扱っている方程式に対しても拡張できることを示し，漸近挙動解析を行なった．
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| 現在までの達成度 (区分) |
現在までの達成度 (区分)
2: おおむね順調に進展している
理由
(1)扱っている方程式は，グラフの法線速度が曲率の冪乗に等しい，冪型曲率流を含んだ，一般的な方程式を研究対象としている．発散型ノイマン境界条件は，曲面の内部が境界に付着した場合を想定している．これらの設定は，グラフ解に限らない，一般的な曲面の発展方程式に対する境界値問題において，曲面が境界に衝突した際の特異性の解析を目的としている．本研究により，限定的な状況において，解の挙動を方程式の構造を用いて分類したこととなるが，一般的な状況における構造解析には及んでいない．
(2)結晶方位を導入したモデルに対する先行研究は幾つかあり，曲線の運動方程式を導入した場合のネットワークに関する研究としては，新規性が高いように思われる．一方，研究対象であるモデルにおいて，結晶方位差の解の挙動に与える影響を関数として記述しているが，本研究では，その関数に対する凸性を仮定している．関数が非凸の場合には，より複雑な解の挙動が期待されるが，本研究では明らかにしていない．
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| 今後の研究の推進方策 |
これまでの研究により，当初研究目的としていた研究目標の他にも，研究課題が幾つか浮き彫りにされている．例えば，(1)の高次元化，発散型ディリクレ境界値を課した場合の解析なども本研究課題における解析に繋がり，また，学術的な難解さを伴い，研究課題とすべきように思われる．これらの研究にも取り組みたいと考えている．(2)についても，上記で述べた関数に対する凸性を仮定しない場合の解の挙動解析も研究対象としたい．
また，接触角条件付きのBrakke flowの構成方法についても，利根川吉廣氏(東京工業大学)とも意見交換しており，その研究にも取り組みたい．具体的には，Allen-Cahn方程式からの特異極限として構成する手法と，minimizing movementを用いた手法を考えている．
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| 次年度使用額が生じた理由 |
新型コロナウイルスの影響により，予定より出張が行えなかったため，差額が生じた．差額については，国内と海外への出張費や書籍の購入に充てる予定である．
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