| 研究課題/領域番号 |
19K14573
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| 研究機関 | 滋賀県立大学 |
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研究代表者 |
杉山 裕介 滋賀県立大学, 地域ひと・モノ・未来情報研究センター, 准教授 (30712161)
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| 研究期間 (年度) |
2019-04-01 – 2022-03-31
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| キーワード | 準線形波動方程式 / 解の爆発 / 解の特異性 |
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| 研究実績の概要 |
準線形波動方程式の解が有限時間で特異性を持つための条件について研究を行った。これまで知られていたVariational wave equationと呼ばれる変分構造を持つ準線形波動方程式について知られていた結果を、この方程式を含みつつそのような構造を壊す方向へパラメータを入れた準線形波動方程式へと拡張した。このパラメータ付きの方程式は、Variational wave equationの自然な拡張として先行研究で導入されたものであるが、解が有限時間で特異性を持つための条件やその特異な解の正則性は、数値計算上は予想されていたものの、証明が与えられていなかった。Variational wave equationについては、変分構造によってエネルギー保存則を持つが、証明においてはそのエネルギー保存則が重要な役割を果たしていた。実際、波動方程式を微分方程式（不等式）に帰着させる際、解の爆発を妨げる項が現れ、その項の抑制にエネルギー保存則が使われる。この研究においては、パラメータによって決まるエネルギー保存則を拡張した自然な積分不等式を証明し、それを利用して解の爆発の証明を行った。爆発解の正則性（ヘルダー連続性）についても、数値計算結果を裏付ける結果を証明することができた。この結果をまとめた論文は、Indiana University Mathematics Journalに受理されている。
上記の結果以外には、退化型準線形波動方程式について、これまで知られていなかった新たな退化条件のもとでの時間局所解の存在定理を証明した。この結果は、現在2篇の論文としてまとめている最中である。
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| 現在までの達成度 (区分) |
現在までの達成度 (区分)
2: おおむね順調に進展している
理由
退化型準線形波動方程式の解の正則性をテーマに研究を進めていた。当初の計画した問題のうちもっとも重要な方程式が退化する点付近での解の存在及びそれを利用した時間大域解の存在証明はまだ未解決問題として残しているが、新しい退化型準線形波動方程式の時間局所解の存在定理をすることができた。これによってその時間局所解の時間大域的な挙動などの新しい問題も生じ、新しい研究の展望も開けたと言えるので、総合的には、おおむね順調に進展していると判断する。
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| 今後の研究の推進方策 |
当初計画した通りの未解決問題を中心に研究を進めていく。つまり、ある時空間曲線もしくは超局面上で退化しているような準線形波動方程式の解が退化する点付近での解の正則性について研究を行う。一方で、上述の通り得られた新しい時間局所解の存在定理について、時間大域解への延長可能性について検討する。特に、一昨年度集中的に研究を行って得られていた摩擦項付き準線形波動方程式の理論と組み合わせて、摩擦項付き退化型準線形波動方程式の時間大域解の存在についても考察していく予定でいる。
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| 次年度使用額が生じた理由 |
新型コロナウィルスの感染流行により参加予定だった多くの研究集会が中止となり、対面での研究打ち合わせもできなかったため。
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