離散パンルヴェ方程式の特異点配置の実現

2019 年度 実施状況報告書

• 研究課題/領域番号: 19K14579
• 研究機関: 明石工業高等専門学校
• 研究代表者: 長尾 秀人 明石工業高等専門学校, 一般科目, 准教授 (00760125)
• 研究期間 (年度): 2019-04-01 – 2023-03-31
• キーワード: パンルヴェ方程式 / 離散可積分系 / ラックス形式 / 超幾何関数 / ワイル群 / 初期値空間 / パデ法

研究実績の概要

本研究の目的は，　申請時に記載した通り，　有理曲面(特異点配置)の実現の観点から離散パンルヴェ方程式の基本的完成に対して学術的に挑戦することである．　本年度（2019年度）の研究実績の概要は以下の通りである．
(1) 長尾は，　山田(神戸大学)との離散パンルヴェ方程式のアフィン・ワイル群表現の共同研究を継続し，　q差分の場合における有理曲面（特異点配置）全てとそれに対応するアフィン・ワイル群対称性の構成を進めた．　アフィン・ワイル群対称性の構成を基にアフィン・ワイル群表現を構成することができる．
(2)　長尾は，　パデ法を用いて，　アフィン・ワイル群対称性E7型，　E6型，　D4型，　A3型加法差分パンルヴェ方程式の基本データ（方程式，　ラックス・ペア，　超幾何関数型特殊解）（論文準備中）および多変数的拡張として加法差分ガルニエ系を構成した． パデ近似とパンルヴェ方程式に関する成果でRIMS 国際研究集会Symposium MAAA2019（招待）で講演発表した．　長尾・山田は，　パデ法のパンルヴェ方程式やその多変数系への応用に関する総合報告の作成を進め，完成が近づいた．
(3) 長尾は，　山田（神戸大学）との差分ガルニエ系の共同研究を継続し，　q-quadratic差分ガルニエ系の基本データ（方程式，　ラックス・ペア，　超幾何関数型特殊解）をパデ法を用いて構成した．　また，　q差分ガルニエ系やq差分パンルヴェ方程式との関係を明らかにすることができた（論文準備中）． これらの成果は２０１９年度日本数学会で講演発表を行った．

現在までの達成度 (区分)

2: おおむね順調に進展している

理由

本研究の目的「有理曲面（特異点配置）の実現すべてに対して，　離散パンルヴェ方程式の基本データの完成を探求する」に対して，　まず有理曲面（特異点配置）の実現全てとそれに対応するアフィン・ワイル群対称性の構成が, q差分の場合でE8, E7, E6, D5まで進んでいる．　この４クラスについてはパデ法を用いて基本データ(方程式，ラックス・ペア，超幾何関数型特殊解)が構成することができる．　アフィン・ワイル群表現は, qE8, qE7まで進んでいる．　パデ法は離散パンルヴェ方程式の多くのクラスに適用の可能性があり，　基本データの完成に有用である．

今後の研究の推進方策

本研究を推進する上で，　有理曲面（特異点配置）全てとそれに対応するアフィン・ワイル群対称性の構成を完成させることが必要不可欠である．　次に，　そこで得られたアフィン・ワイル群対称性を基にアフィン・ワイル群表現の構成を進めたい．　アフィン・ワイル群表現の構成と並行して，　パデ法がで適用可能なクラスにおいて，　方程式・ラックス・ペア，　超幾何関数型特殊解の構成を進めたい．

次年度使用額が生じた理由

次年度使用額が生じた理由: 科研費によって図書および物品を購入する必要がなくなり，　また新型コロナウィルス感染拡大に伴い，　日本数学会年会などの研究集会が中止または延期されたため．
次年度使用額の使用計画: 旅費または謝金として使用する．

研究成果

• [学会発表] パデ法とq-quadratic 差分ガルニエ系たち (2020)
  • 著者名/発表者名: 長尾 秀人, 山田泰彦
  • 学会等名: 日本数学会年会・無限可積分系セッション
• [学会発表] Pad`e approximation and Painlev`e equations (2019)
  • 著者名/発表者名: Hidehito Nagao
  • 学会等名: RIMS Symposium MAAA2019, Microlocal Analysis and Asymptotic Analysis
  • 国際学会 / 招待講演