| 研究実績の概要 |
絶対値冪乗の非線形項を持つ波動方程式とその連立系に対して, Strauss臨界と劣臨界の状況下で, 小さな初期値の解の爆発とライフスパンの最適な上からの評価を先行研究より簡明な方法で示した. この結果は, 国際誌Journal of Differential Equationsに採録された. 絶対値冪乗の非線形項と時間依存した効果的な摩擦項を持つ波動方程式に対して, 藤田臨界の場合に, 小さな初期値の解のライフスパンの最適な評価を導出した. これは, 国際誌Journal of Hyperbolic Differential Equationsに採録された. 空間3次元の線形ポテンシャルを持つ非線形シュレディンガー方程式に対して, ポテンシャルのない基底状態未満の初期値に対する解の散乱と爆発の結果を得た. 解が散乱するための初期値の十分条件と解が非有界になるための十分条件を与えた. 散乱の条件は, 先行研究では扱えていなかった初期値を含んでいる. 解の爆発の結果は初めてのものである. これはJournal of Evolution Equationsにアクセプトされた. 空間1次元の質量臨界の非線形項を持つKlein-Gordon方程式に対して, 基底状態未満のエネルギー有限な初期値に対して, 解の散乱を示した. また, 反発的に働く質量臨界項も本質的に含んだ指数関数型の非線形項を持つKlein-Gordon方程式に対して, 任意のエネルギー有限な初期値に対する解の散乱を示した. これは, 国際氏Journal of Hyperbolic Equationsにアクセプトされた. 線形ポテンシャルを持つ非線形シュレディンガー方程式に対して, ポテンシャルを持つ定常方程式の解の存在を示した, またそれより小さな初期値の時間依存問題に対する時間大域解の存在を示した.
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| 現在までの達成度 (区分) |
現在までの達成度 (区分)
2: おおむね順調に進展している
理由
本年度は9本の学術論文が国際誌から出版された. そのうちのいくつかは, 当該研究分野を大きく前進させる革新的なものである. 例えば, 我々のJDEから出版された非線形波動方程式に対するテスト関数法の確立は, 非線形波動方程式の研究コミュニティに大きく貢献した. また, 非線形Klein-Gordon方程式に対して, 問題設定が極めて重要かつ困難なエネルギー空間に属する初期値の質量臨界を扱った. 初期値の小ささを仮定しない解の散乱の結果は非常に革新的な結果である. さらに, ポテンシャルを有するシュレディンガー方程式は, 通常のフーリエ変換が機能しない困難な状況にある. その中で, 解の長時間挙動に関するいくつかの結果を得て, 国際誌からアクセプトされたことは非線形シュレディンガー方程式の研究コミュニティに良い影響を与えた.
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| 今後の研究の推進方策 |
今後はより一層共同研究者と綿密な連携を図り, 研究を前に進める. 特に, オンラインミーティングを充実させ, コミュニケーションを取る手段の自由度を広げる. またオンラインセミナーや勉強会を立ち上げて専門的知識の発信と獲得に努める. 研究内容として, 今年度は, エネルギー臨界Hardy-Henon熱方程式の解の時間大域挙動, Star-graph上のシュレディンガー方程式の解の時間大域挙動, 小さなソリトンの漸近安定性に注力する.
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