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2020 年度 実施状況報告書

非線形偏微分方程式の適切性と解の分類理論の解明

研究課題

研究課題/領域番号 19K14581
研究機関国立研究開発法人理化学研究所

研究代表者

池田 正弘  国立研究開発法人理化学研究所, 革新知能統合研究センター, 研究員 (00749690)

研究期間 (年度) 2019-04-01 – 2023-03-31
キーワードシュレディンガー方程式 / 波動方程式 / 初期値問題 / 大域解 / 関数解析 / 関数空間 / スペクトラルグラフ理論 / 機械学習
研究実績の概要

本年度は, 学術論文12本が当該研究分野の権威のある査読付き国際誌及び国際会議に採録が確定した. 以下でそれらの概要を述べる. 線形ポテンシャルを持つ非線形シュレディンガー方程式で, 基底状態未満の作用を持つ初期値のNehari汎関数が正の時に, 大域適切性を示した(PAMS). 3次のハートリー型非線形項とスケール不変な時間依存した摩擦項を持つ波動方程式の初期値問題を研究した. 空間遠方で超臨界な多項式減衰する小さな初期値の解が有限時間で爆発することを示した(Nonlinear Anal). コンパクトサポートを持つ小さな初期値に対して, ポテンシャルの臨界指数を決定した(JDE). 伝播速度の差異を考慮した弱連立一般化Tricomi方程式(JEE)と時間依存した摩擦項と質量項を持つ波動方程式(Evol Equ Cntrol)で, コンパクトサポートを持つ小さな初期値の解の最大存在時刻を評価した. ノイズ付き非線形力学系に対して, 再生核ヒルベルト空間上のPerron-Frobenius作用素とカーネル平均埋め込みを用いて, Shift-Invert Arnoldi法と有限個のデータからその作用素の推定法を提案した(JMLR). 微分同相写像から定まる合成作用素がモレー空間上で有界になるための必要十分条件を示した(J Inequal Appl). ハイパーグラフ上の(劣モジュラー)ラプラシアンから定まるPersonalized PageRankを用いた2つの理論保証付きコミュニティ検出法を提案した(KDD). カップリングに基づく可逆ニューラルネットワークが微分同相写像の万能近似器であることを示した(NeurIPS). オーバーパラメトライズされたニューラルネットにおけるパラメータ分布が, リッジレッド変換のあるスペクトルに収束することを示した(AISTATS).

現在までの達成度 (区分)
現在までの達成度 (区分)

2: おおむね順調に進展している

理由

本年度は, 査読付き学術論文12本の採録が確定した. そのほとんどが, 当該分野の権威ある国際誌及び国際会議に掲載または掲載予定である. このことは, 本研究が順調に進展していることを示している. 以下で, 各課題の具体的進捗状況を述べる. PAMSに採録されたシュレディンガー方程式の研究は, 「ポテンシャル付き楕円型方程式」の基底状態を用いており, 今後, 解の長時間挙動を調べるための基礎を創った. Nonlinear Analに採録された波動方程式の研究は, 先行研究と比較して, 「摩擦項の時間に依存した係数」が解へどのような影響を与えるのかを明かにした. JDEに採録された波動方程式の研究は, 解の爆発を示していた先行研究に対して, より詳細な「爆発時刻の評価」を導出した. これらは, 「ハートリー型非線形項の扱い方」を発展させた. 機械学習のトップジャーナルJMRLに採録された研究は, 先行研究と比較して, Perron-Frobenius作用素の「非有界性」を考慮に入れた「新しいKrylov部分空間法」を提案しており, この分野に1つの基礎理論を構築した. J Inequal Applに採録されたモレー空間の研究は, ルベーグ空間を扱った「先行研究では見られない現象」を発見しており, 関数空間論の研究に大きく貢献した. JEEに採録された弱連立系一般化Tricomi方程式とEvol Equ Cntrolに採録された波動方程式の研究は, 結果自体が当該分野を発展させたが, 「国際共同研究」である点も特筆すべきである. KDD, NeurIPS(Oral), AISTATSに採録された論文は, KDDがデータマイニングの最難関, NeurIPSが機械学習の最難関, AISTATSが機械学習のトップ会議であることを考慮すると, これらは, 当該分野に大きく貢献した.

今後の研究の推進方策

今後は, 現在進行中のいくつかの重要な研究課題があるので, それらを推進して, 学術論文の形にして出版する. また, ブレークスルーを与えるであろういくつかの着想があるので, それらを用いて新たな研究分野の創出を目指す. それらを達成するため, 今後はより一層共同研究者と綿密な連携を図り, 議論を重ねる. 特に, オンラインミーティングの充実化を図る. 対面での議論を通して, 研究の焦点になる部分を詰める. 進行中の研究課題のいくつかは以下である. 空間2次元のPoint interactionを持つ非線形シュレディンガー方程式の解の安定性. Hardy-SobolevまたはHenon型熱方程式の初期値問題の適切性及び解の大域挙動の分類. 空間2次元の指数型非線形項を持つHardy-Sobolev熱方程式の解の大域挙動の分類. ガウス型評価を満たす自己共役作用素から定まる非線形消散型波動方程式の臨界指数の決定, BBM-Burgers方程式の減衰の遅い初期値を持つ解の漸近展開. Non-autonomousな系に対する再生核ヒルベルトC*モジュールとPerron-Frobenius作用素を用いた新たなデータ解析手法の開発. Kernel DMD(Dynamic Mode Decomposiiton)の理論構築及び新しいアルゴリズムの創出. ハイパーグラフ上の(劣モジュラー)ラプラシアンの基礎理論の構築とそれを用いた新しいアルゴリズムの創出.

次年度使用額が生じた理由

新型コロナウィルスの影響により参加予定であった研究集会や国外出張にキャンセルがあったため. 新しく計算機援用ソフトを購入して, 数値計算の高速化を図る.

  • 研究成果

    (30件)

すべて 2021 2020 2019 その他

すべて 雑誌論文 (12件) (うち査読あり 12件) 学会発表 (15件) 備考 (1件) 産業財産権 (2件)

  • [雑誌論文] Critical exponent for the wave equation with a time-dependent scale invariant damping and a cubic convolution2021

    • 著者名/発表者名
      Masahiro Ikeda, Tomoyuki Tanaka and Kyohei Wakasa
    • 雑誌名

      Journal of Differential Equations

      巻: 270 ページ: 916--946

    • DOI

      10.1016/j.jde.2020.08.047

    • 査読あり
  • [雑誌論文] Boundedness of composition operators on Morrey spaces and weak Morrey spaces2021

    • 著者名/発表者名
      Naoya Hatano, Masahiro Ikeda, Isao Ishikawa and Yoshihiro Sawano
    • 雑誌名

      Journal of Inequalities and Applications

      巻: 未定 ページ: 未定

    • DOI

      10.1186/s13660-021-02599-7

    • 査読あり
  • [雑誌論文] Small data blow-up for the weakly coupled system of the generalized Tricomi equation with multiple propagation speed2021

    • 著者名/発表者名
      Masahiro Ikeda, Jiayun Lin and Ziheng Tu
    • 雑誌名

      Journal of Evolution Equations

      巻: 未定 ページ: 未定

    • 査読あり
  • [雑誌論文] Ridge Regression with Over-parametrized Two-Layer Networks Converge to Ridgelet Spectrum2021

    • 著者名/発表者名
      Sho Sonoda, Isao Ishikawa and Masahiro Ikeda
    • 雑誌名

      Proceedings of The 24th International Conference on Artificial Intelligence and Statistics

      巻: 130 ページ: 2674--2682

    • 査読あり
  • [雑誌論文] ハイパーグラフ上の熱とそのネットワーク解析への応用2021

    • 著者名/発表者名
      池田 正弘
    • 雑誌名

      日本応用数理学論文誌

      巻: 31-2 ページ: 未定

    • 査読あり
  • [雑誌論文] Global well-posedness below the ground state for the nonlinear Schr\"odinger equation with a linear potential2020

    • 著者名/発表者名
      Masaru Hamano and Masahiro Ikeda
    • 雑誌名

      Proceedings of the American Mathematical Society

      巻: 148 ページ: 5193--5207

    • DOI

      10.1090/proc/15161

    • 査読あり
  • [雑誌論文] Small data blow-up for the wave equation with a time-dependent scale invariant damping and a cubic convolution for slowly decaying initial data2020

    • 著者名/発表者名
      Masahiro Ikeda, Tomoyuki Tanaka and Kyohei Wakasa
    • 雑誌名

      Nonlinear Analysis

      巻: 200 ページ: 未定

    • DOI

      10.1016/j.na.2020.112057

    • 査読あり
  • [雑誌論文] Krylov subspace method for nonlinear dynamical systems with random noises2020

    • 著者名/発表者名
      Yuka Hashimoto, Isao Ishikawa, Masahiro Ikeda, Yoichi Matsuo and Yoshinobu Kawahara
    • 雑誌名

      Journal of Machine Learning Research

      巻: 172 ページ: 1--29

    • 査読あり
  • [雑誌論文] Small data blow-up of semi-linear wave equation with scattering dissipation and time-dependent mass2020

    • 著者名/発表者名
      Masahiro Ikeda, Ziheng Tu and Kyohei Wakasa
    • 雑誌名

      Evolution Equations and Control Theory

      巻: 未定 ページ: 未定

    • DOI

      10.3934/eect.2021011

    • 査読あり
  • [雑誌論文] Coupling-based invertible neural networks are universal diffeomorphism approximator2020

    • 著者名/発表者名
      Takeshi Teshima, Isao Ishikawa, Koichi Tojo, Kenta Oono, Masahiro Ikeda and Masashi Sugiyama
    • 雑誌名

      Advances in Neural Information Processing Systems

      巻: 33 ページ: 未定

    • 査読あり
  • [雑誌論文] Hypergraph Clustering Based on PageRank2020

    • 著者名/発表者名
      Yuuki Takai, Atsushi Miyauchi, Masahiro Ikeda and Yuichi Yoshida
    • 雑誌名

      26nd ACM SIGKDD Conference on Knowledge Discovery and Data mining (KDD)

      巻: 26 ページ: 1970--1978

    • 査読あり
  • [雑誌論文] Universal approximation property of neural ordinary differential equations2020

    • 著者名/発表者名
      Takeshi Teshima, Koichi Tojo, Masahiro Ikeda, Isao Ishikawa and Kenta Oono
    • 雑誌名

      NeurIPS 2020 Workshop: Differential Geometry meets Deep Learning

      巻: 未定 ページ: 未定

    • 査読あり
  • [学会発表] 逆2乗ポテンシャルを持つ非線形クライン・ゴルドン方程式の定在波解の不安定性2021

    • 著者名/発表者名
      浜野 大, 池田 正弘
    • 学会等名
      日本数学会・2021年度年会
  • [学会発表] A global universality of two-layer neural networks with ReLU activations2021

    • 著者名/発表者名
      波多野 修也, 池田 正弘, 石川 勲, 澤野 嘉宏
    • 学会等名
      日本数学会・2021年度年会
  • [学会発表] 非線形シュレディンガー方程式の定常問題と時間大域挙動2021

    • 著者名/発表者名
      池田 正弘
    • 学会等名
      愛媛解析セミナー
  • [学会発表] ランダムウォークを用いたハイパーグラフにおけるローカルコミュニティと弱い紐帯の抽出2021

    • 著者名/発表者名
      岡 亮, 高井 勇輝, 松本 直己, 池田 正弘, 金子 晋丈
    • 学会等名
      電子情報通信学会(IN)
  • [学会発表] Hypergraph Clustering via PageRank2020

    • 著者名/発表者名
      高井 勇輝, 宮内 敦史, 池田 正弘, 吉田 悠一
    • 学会等名
      第23回情報論的学習理論, ワークショップ(IBIS2020)
  • [学会発表] 積分幾何学に基づくニューラルネットの新しい再生公式2020

    • 著者名/発表者名
      園田 翔, 石川 勲, 池田 正弘
    • 学会等名
      第23回情報論的学習理論, ワークショップ(IBIS2020)
  • [学会発表] カップリングに基づく可逆神経回路網は微分同相写像の万能近似機である2020

    • 著者名/発表者名
      手嶋 毅志, 石川 勲, 東條 広一, 大野 健太, 池田 正弘, 杉山 将
    • 学会等名
      第23回情報論的学習理論ワークショップ(IBIS2020)
  • [学会発表] Reproducing kernel Hilbert C*-moduleによる多変量データの解析2020

    • 著者名/発表者名
      橋本 悠香, 石川 勲, 池田 正弘, 紅村 冬大, 勝良 健史, 河原 吉伸
    • 学会等名
      第23回情報論的学習理論ワークショップ(IBIS2020)
  • [学会発表] オーバーパラメトライズされた有限ニューラルネットの最適解2020

    • 著者名/発表者名
      園田 翔, 石川 勲, 池田 正弘
    • 学会等名
      第23回情報論的学習理論, ワークショップ(IBIS2020)
  • [学会発表] 解析的な正定値関数に付随する再生核Hilbert空間上の合成作用素の有界性について2020

    • 著者名/発表者名
      池田 正弘, 石川 勲, 澤野 嘉宏
    • 学会等名
      日本数学会・2020年度秋季総合分科会
  • [学会発表] モレー空間における合成作用素の有界性について2020

    • 著者名/発表者名
      波多野 修也, 池田 正弘, 石川 勲, 澤野 嘉宏
    • 学会等名
      日本数学会・2020年度秋季総合分科会
  • [学会発表] Well-posedness of the fourth-order Schr\"odinger equation with derivative nonlinearities2020

    • 著者名/発表者名
      平山 浩之, 池田 正弘, 田中 智之
    • 学会等名
      日本数学会・2020年度秋季総合分科会
  • [学会発表] 逆冪乗型ポテンシャルを持つ非線形シュレディンガー方程式の初期値の条件の同値性について2020

    • 著者名/発表者名
      浜野 大, 池田 正弘
    • 学会等名
      日本数学会・2020年度秋季総合分科会
  • [学会発表] Hardy-H\'enon型半線型熱方程式の解の挙動2020

    • 著者名/発表者名
      千頭 昇, 池田 正弘, 谷口 晃一
    • 学会等名
      日本数学会・2020年度秋季総合分科会
  • [学会発表] 非線形力学系から生成される時系列データ間の作用素論的側面からの研究2020

    • 著者名/発表者名
      池田 正弘
    • 学会等名
      第74回 京都大学応用数学セミナー(KUAMS)
  • [備考] Masahiro Ikeda's page

    • URL

      https://sites.google.com/site/masahiroikedamath/home

  • [産業財産権] 関係性抽出装置及び関係性 抽出方法2020

    • 発明者名
      橋本悠香,石川勲,池田正弘,河原吉伸,勝良健史,紅村冬大
    • 権利者名
      橋本悠香,石川勲,池田正弘,河原吉伸,勝良健史,紅村冬大
    • 産業財産権種類
      特許
    • 産業財産権番号
      035051
  • [産業財産権] 異常検知装置、異常検知方法、及び プログラム2019

    • 発明者名
      橋本悠香, 石川勲, 池田正弘, 河原吉伸, 松尾洋一
    • 権利者名
      橋本悠香, 石川勲, 池田正弘, 河原吉伸, 松尾洋一
    • 産業財産権種類
      特許
    • 産業財産権番号
      154065

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公開日: 2021-12-27  

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