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2021 年度 実施状況報告書

非線形偏微分方程式の適切性と解の分類理論の解明

研究課題

研究課題/領域番号 19K14581
研究機関国立研究開発法人理化学研究所

研究代表者

池田 正弘  国立研究開発法人理化学研究所, 革新知能統合研究センター, 研究員 (00749690)

研究期間 (年度) 2019-04-01 – 2023-03-31
キーワード適切性 / 大域挙動 / 非線形性 / シュレディンガー方程式 / 波動方程式 / 拡散方程式 / 解の爆発 / 尺度臨界空間
研究実績の概要

Hardy-H\'enon拡散方程式の初期値問題を重み付きルベーグ空間内で研究した. 尺度臨界及び劣臨界空間で, 適切性を, 優臨界空間で, 局所解の非存在の結果を得た. 臨界空間で, 前方自己相似解の存在を示した. 空間3次元以上のエネルギー臨界Hardy-Sobolev拡散方程式の初期値問題で, 初期値のエネルギーが基底状態以下の時, 解が, 時間無限大で0になるか, 非有界になるかの必十条件を与えた. 空間2次元の点相互作用ポテンシャルを持つ非線形シュレディンガー方程式をエネルギー空間で研究した. この方程式の基底状態の存在と性質を示した. 初期値問題の局所適切性とエネルギー保存則を示した. 定在波に関して, 小さな周波数の安定性, 大きな周波数かつ質量(劣)臨界の安定性と質量優臨界の不安定性を得た. 反発的逆冪ポテンシャルを持ち, 質量優臨界かつエネルギー劣臨界の非線形シュレディンガー方程式の初期値問題で, 基底状態の質量-エネルギー未満の初期値に対する解の長時間挙動を研究した. 解が時間大域的かつ時間に関して一様有界である初期値及び解が時間に関して非有界であるための初期値の必十条件を与えた. 空間1次元で反発的線形ポテンシャルを持つ非線形シュレディンガー方程式に対しても類似の研究を行った. 分数冪ラプラシアンを持つ消散型波動方程式の初期値問題の適切性と解の時間減衰評価を研究した. 線形解のべゾフ空間と重み付きルベーグ空間における減衰評価を導出した. 非線形問題の適切性及び藤田優臨界の場合の解の減衰評価を導出した. 空間1次元で, 3階以下の微分を含みかつ3次以上の非線形項を持つ4階シュレディンガー方程式の初期値問題を研究した. 様々な既存研究を含んだ適切性の結果を得た. 証明の鍵は, デュアメル項の分解を用いた線形評価とそれを応用した双線形評価を確立にある.

現在までの達成度 (区分)
現在までの達成度 (区分)

2: おおむね順調に進展している

理由

本年度は, 査読付き学術論文11本が当該分野の権威ある国際誌に掲載または掲載予定である. このことは, 本研究が順調に進展していることを示している. 以下で, 各課題の進捗状況を述べる. Nonlinear Analに採録されたHardy-H\'enon拡散方程式の研究の新規性は, 重み付きルベーグ空間で初期値問題の適切性を示した点である. この研究により, この問題の理論的基礎付けを与えた. Nonlinearityに採録されたHardy-Sobolev拡散方程式の研究の重要な点は, 背理法の中で構成する「最小エネルギー爆発解」を既存研究で用いられた「backward uniqueness」を用いずに排除した点である. 別の重要な点は, プロファイル分解を用いて, 非線形プロファイルを構成するが, 平行移動パラメータが遠方に行く非線形プロファイルの性質を抽出した点である. JDEに採録された空間2次元の点相互作用ポテンシャルを持つNLSの研究の困難な点は, エネルギー空間が通常のソボレフ空間ではなく摂動されたソボレフ空間である点にある. この空間の元をregularパートとsingularパートに分け、それぞれの性質を抽出することで, この困難さを克服した. JMPに採録されたNLSの解の有界性に関する論文では, ポテンシャルの無い基底状態未満の初期値に対して, kineticエネルギーの役割を明確にした. JMAAに採録された反発的線形ポテンシャルを持つNLSの研究は, 空間1次元という線形解の時間減衰が遅い状況の中で, 基底状態未満の初期値を扱ったことは, 基底状態以上の初期値に関する研究に繋がる. NoDEAに採録された分数冪ラプラシアンを持つDNLWと4階NLSの研究は, フーリエ解析を駆使して, 非線形項を精密に評価することで, いくつかの先行研究を拡張した.

今後の研究の推進方策

今後は, 現在進行中のいくつかの重要な研究課題があるので, それらを推進して, 学術論文に纏め出版する. また, 当該研究分野にブレークスルーを与えるであろういくつかの着想があるので, それらを具現化していく. それらを達成するため, より一層共同研究者と綿密な連携を図り, 丁寧な議論を重ねる. オンラインミーティングの充実化を図り, 対面での議論を通して, 研究の骨子になる部分の解決を試みる. さらに, 国際協力関係をより強化することで, 日本にない研究の芽を見つける. 進行中の研究課題のいくつかは以下である. Hardy-H\'enon拡散方程式の重み付きLorentz空間における初期値問題の適切性及び解の無条件一意性. BBM-Burgers方程式及びKdV-Burgers方程式の減衰の遅い初期値に対する解の漸近展開. ハイパーグラフ上の劣モジュラーラプラシアンに対するClique展開とStar展開に関する理論保証. 線形ポテンシャルを持つ消散型波動方程式の線形解の時間減衰評価の導出とそれらの非線形問題への応用. 線形ポテンシャルを持つ非線形シュレディンガー方程式の基底状態以上の質量-エネルギーを持つ初期値に対する解の長時間挙動. プラズマ物理に関連のある微分型非線形シュレディンガー方程式系の基底状態の存在とその性質及び初期値問題の大域適切性と定在波の安定性

次年度使用額が生じた理由

新型コロナウィルスの影響により出張旅費に残額が生じた. 今後は, 国内出張を拡充させて研究の推進を図る.

  • 研究成果

    (22件)

すべて 2022 2021

すべて 雑誌論文 (11件) (うち国際共著 1件、 査読あり 11件) 学会発表 (11件) (うち国際学会 2件、 招待講演 1件)

  • [雑誌論文] Boundedness of composition operators on reproducing kernel Hilbert spaces with analytic positive definite functions2022

    • 著者名/発表者名
      Ikeda Masahiro、Ishikawa Isao、Sawano Yoshihiro
    • 雑誌名

      Journal of Mathematical Analysis and Applications

      巻: 511 ページ: 126048~126048

    • DOI

      10.1016/j.jmaa.2022.126048

    • 査読あり
  • [雑誌論文] Heaviside function as an activation function2022

    • 著者名/発表者名
      Hatano Naoya、Ikeda Masahiro、Ishikawa Isao、Sawano Yoshihiro
    • 雑誌名

      Journal of applied analysis

      巻: 未定 ページ: 未定

    • 査読あり
  • [雑誌論文] On stability and instability of standing waves for 2d-nonlinear Schr\"odinger equations with point interaction2022

    • 著者名/発表者名
      Fukaya Noriyoshi、Georgiev Vladimir、Ikeda Masahiro
    • 雑誌名

      Journal of Differential Equations

      巻: 321 ページ: 258~295

    • DOI

      10.1016/j.jde.2022.03.008

    • 査読あり / 国際共著
  • [雑誌論文] Optimal well-posedness and forward self-similar solution for the Hardy-H'enon parabolic equation in a critical weighted Lebesgue space2022

    • 著者名/発表者名
      Chikami Noboru、Ikeda Masahiro、Taniguchi Koichi
    • 雑誌名

      Nonlinear Analysis

      巻: 未定 ページ: 未定

    • 査読あり
  • [雑誌論文] Universality of neural networks with a sigmoidal activation or discriminatory function on Banach lattices over the real line2022

    • 著者名/発表者名
      Hatano Naoya、Ikeda Masahiro、Ishikawa Isao、Sawano Yoshihiro
    • 雑誌名

      Journal of Mathematical Science

      巻: 未定 ページ: 未定

    • 査読あり
  • [雑誌論文] Global dynamics below the ground state for the focusing semilinear Schr?dinger equation with a linear potential2021

    • 著者名/発表者名
      Ikeda Masahiro
    • 雑誌名

      Journal of Mathematical Analysis and Applications

      巻: 503 ページ: 125291~125291

    • DOI

      10.1016/j.jmaa.2021.125291

    • 査読あり
  • [雑誌論文] Well-posedness for the fourth-order Schr\"odinger equation with third order derivative nonlinearities2021

    • 著者名/発表者名
      Hirayama Hiroyuki、Ikeda Masahiro、Tanaka Tomoyuki
    • 雑誌名

      Nonlinear Differential Equations and Applications NoDEA

      巻: 28 ページ: -

    • DOI

      10.1007/s00030-021-00707-6

    • 査読あり
  • [雑誌論文] On the Cauchy problem for a class of semilinear second order evolution equations with fractional Laplacian and damping2021

    • 著者名/発表者名
      Fujiwara Kazumasa、Ikeda Masahiro、Wakasugi Yuta
    • 雑誌名

      Nonlinear Differential Equations and Applications NoDEA

      巻: 28 ページ: -

    • DOI

      10.1007/s00030-021-00723-6

    • 査読あり
  • [雑誌論文] A Global Universality of Two-Layer Neural Networks with ReLU Activations2021

    • 著者名/発表者名
      Hatano Naoya、Ikeda Masahiro、Ishikawa Isao、Sawano Yoshihiro
    • 雑誌名

      Journal of Function Spaces

      巻: 2021 ページ: 1~3

    • DOI

      10.1155/2021/6637220

    • 査読あり
  • [雑誌論文] Well-posedness and global dynamics for the critical Hardy-Sobolev parabolic equation2021

    • 著者名/発表者名
      Chikami Noboru、Ikeda Masahiro、Taniguchi Koichi
    • 雑誌名

      Nonlinearity

      巻: 34 ページ: 8094~8142

    • DOI

      10.1088/1361-6544/ac2c90

    • 査読あり
  • [雑誌論文] Reproducing kernel Hilbert C*-modules and kernel mean embeddings2021

    • 著者名/発表者名
      Hashimoto Yuka、Ishikawa Isao、Ikeda Masahiro、 Komura Fuyuta、Katsura Takeshi、Kawahara Yoshinobu
    • 雑誌名

      Journal of Machine Learning Research

      巻: 22 ページ: 1--56

    • 査読あり
  • [学会発表] Heat on hypergrapn and its application to network analysis2022

    • 著者名/発表者名
      Masahiro Ikeda
    • 学会等名
      SIAM Conference on Analysis of Partial Differential Equations (PD22)
    • 国際学会 / 招待講演
  • [学会発表] 逆冪乗型ポテンシャルをもつ非線形シュレディンガー方程式の爆発解について2022

    • 著者名/発表者名
      浜野 大, 池田 正弘
    • 学会等名
      日本数学会・2022年度年会
  • [学会発表] 点相互作用を持つ2次元非線形シュレディンガー方程式の定在波解の安定性と不安定2022

    • 著者名/発表者名
      深谷 法良, Vladimir. Georgiev, 池田 正弘
    • 学会等名
      日本数学会・2022年度年会
  • [学会発表] Nonlinear evolution equation associated with Hypergraph Laplacian2021

    • 著者名/発表者名
      池田 正弘, 内田 俊
    • 学会等名
      日本数学会・2021年度秋季総合分科会
  • [学会発表] 長距離型ポテンシャルをもつ非線形シュレディンガー方程式の散乱解について2021

    • 著者名/発表者名
      浜野 大, 池田 正弘
    • 学会等名
      日本数学会・2021年度秋季総合分科会
  • [学会発表] Optimal well-posedness of Hardy-H'enon parabolic equation2021

    • 著者名/発表者名
      千頭 昇, 池田 正弘, 谷口晃一
    • 学会等名
      日本数学会・2021年度秋季総合分科会
  • [学会発表] ハイパーグラフ上の熱とそのネットワーク解析への応用2021

    • 著者名/発表者名
      池田 正弘
    • 学会等名
      微分方程式とデータサイエンス研究会
  • [学会発表] Gradient descent converges to ridgelet spectrum2021

    • 著者名/発表者名
      Sho Sonoda, Isao Ishikawa and Masahiro Ikeda
    • 学会等名
      The 24th International Conference on Artificial Intelligence and Statistics(AISTATS)
    • 国際学会
  • [学会発表] 群畳み込みニューラルネットに対するリッジレット変換2021

    • 著者名/発表者名
      園田 翔, 石川勲, 池田 正弘
    • 学会等名
      第24回情報論的学習理論, ワークショップ(IBIS2021)
  • [学会発表] 可逆ニューラルネットのSobolev空間における普遍性について2021

    • 著者名/発表者名
      手嶋毅志, 石川勲, 東條広一, 大野健太, 池田正弘, 杉山将
    • 学会等名
      第24回情報論的学習理論, ワークショップ(IBIS2021)
  • [学会発表] RKHMの関数データへの応用2021

    • 著者名/発表者名
      橋本 悠香, 石川勲, 池田 正弘, 紅村冬大, 勝良健史, 河原吉伸
    • 学会等名
      第24回情報論的学習理論, ワークショップ(IBIS2021)

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公開日: 2022-12-28  

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