| 研究課題/領域番号 |
19K14602
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| 研究機関 | 日本女子大学 |
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研究代表者 |
兼子 裕大 日本女子大学, 理学部, 助教 (40773916)
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| 研究期間 (年度) |
2019-04-01 – 2023-03-31
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| キーワード | 反応拡散方程式 / 自由境界問題 / 漸近挙動 / 界面運動 / 伝播 |
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| 研究実績の概要 |
自然界における種々の現象は，反応拡散方程式系で記述される．本研究の目的は，反応拡散方程式系によって生み出される時空間パターンの内，界面運動および伝播に注目し，その生成メカニズムを解明することである．
本年度は生物種の侵入現象を表す反応拡散方程式の自由境界問題に対して，(a)空間1次元で正値双安定項を伴う問題および(b)多次元球対称領域で(a)と同じ反応項をもつ問題について研究した．ここで，正値双安定項とは0と2つの正の安定平衡点を含む4つの平衡点をもつ非線形項である．
(a)について，2つの安定点を結ぶ進行波と自由境界付近の解挙動を記述するSemi-waveの組合せからなるPropagating terraceの形状を伴う伝播について，証明の確認を経て論文が掲載された．これによって，2段階の伝播（小集団が定着した後に大集団が押し寄せる）形態について理論的に明らかにした．一方で，ディリクレ境界条件における解の漸近挙動について，解の分類や自由境界の拡大速度に関する証明の点検を経て，論文が掲載された．
(b)については，空間多次元において球対称領域に限定して解の漸近挙動を調べた．この問題では非線形項が複数の零点をもつため，定常問題に現れる楕円型方程式の解の分類を精密に行うことが重要であった．このとき，解の漸近挙動についてBig spreading（大発生），Small spreading（小発生），Transition（遷移状態），Vanishing（侵入収束）の4種に分類し，SpreadingとTransitionの場合に，侵入前線（界面）の拡大速度を求めた．
研究成果(a)については大分大学解析セミナー，岐阜数理科学セミナー等で発表した．(b)についてはRIMS研究集会，発展方程式研究会にて発表した．
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| 現在までの達成度 (区分) |
現在までの達成度 (区分)
2: おおむね順調に進展している
理由
本研究課題の目標は，[1]2次元以上の領域における生物の侵入現象を表す数理モデルに対して，界面運動と伝播の仕組みを明らかにすること，[2]生物侵入モデルに対して，反応項や拡散項が界面運動と伝播に与える影響について明らかにすること，[3]反応拡散方程式系で表される様々な現象における界面運動と伝播について比較・検討することである．初年度のそれぞれの達成度は，[1] 30%，[2] 70%，[3] 10% であるため，おおむね順調に進展していると考える．
[1]については，概要(b)で述べたように球対称領域に限定すると解の漸近挙動について分類できた．一方で，一般領域に関してはまだ期待する成果が得られていない．[2]については，正値双安定項のもとで解の漸近挙動の分類や2段階伝播という興味深い結果が得られ，2編の論文にまとめることができた．[3]については，生物侵入モデルと比較対象となる数理モデルが定まっていないことが理由である．一方で，反応拡散方程式系と実験の融合に関するワークショップに参加し，生命科学に関連する数理モデルを含む候補をいくつか挙げることができた．
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| 今後の研究の推進方策 |
次年度は，[1]に関してまず概要(b)で述べた球対称解の漸近挙動について，証明の点検を行い論文の完成を目指す．次に一般領域の場合に対しても解の漸近挙動について研究する．このとき，既存の球対称解を優解・劣解として活用できる．またBig Spreadingの場合，概要(a)で述べたようなPropagating terraceを伴う伝播形態が期待できる．まずは球対称領域において，テラス型の伝播形態が現れることを示したい．これは[1]-[2]に関係する研究である．[2]に関しては，ディリクレ境界条件の元で2段階伝播が起こることを示す．[3]については，生物侵入モデルと比較研究可能な対象を選定し，文献調査によって界面運動と伝播に関する課題を挙げ，目標を定めるところまで進展させたい．
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