| 研究実績の概要 |
悪条件向けの前処理の開発および悪条件行列があらわれるアプリケーションの数値計算を中心に活動を行った。これらに関係して、国際学会の講演1件、国内学会の講演2件を行った。
2021年度は最小二乗問題における前処理行列の検討を行った。大規模な最小二乗問題において、最小二乗問題を正規方程式に変換し解くことが行われることがある。正規方程式への変換する過程は行列積を有効に活用できる。また、行列積は最適化されたライブラリが存在し、非常に効率よく計算できる。そのため最小二乗問題を直接解くようなQR分解を用いた解法などよりも、高速な場合が存在する。ただし、正規方程式の条件数は元の問題の条件数が二乗になってしまう問題がある。つまり、10^8を超えた最小二乗問題を正規方程式にした際にすべて悪条件問題になってしまう問題がある。そのため、悪条件な正規方程式向けの前処理行列を開発することで、様々な応用に役立てることを検討した。
検討の結果として、正規方程式のQR分解を前処理行列として使用することを提案した。この前処理行列は一般的には前処理の効果がないと考えられるが、悪条件の際に前処理として効果があることを発見した。ただし、そのままの形式では前処理行列の性質が不安定となるため、前処理を安定させるためにRの一部の値を変更することで安定化を行った。その安定化の処理を行った前処理行列はテストの行列のrandsvdにおいてmode=1,2,4では条件数が10^12 以上の問題としてはシフト付きコレスキー分解よりも前処理行列として性能が良いことを確認した。また、mode=3,5においては条件数が10^8 程度に条件数を減らす効果を確認した。また、この前処理はCholeskyQRの一段目の前処理として使用することを確認した。
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