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2022 年度 研究成果報告書

マグニチュードホモロジーの基礎理論の確立から応用へ

研究課題

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研究課題/領域番号 19K21826
研究種目

挑戦的研究(萌芽)

配分区分基金
審査区分 中区分11:代数学、幾何学およびその関連分野
研究機関大阪大学 (2022)
北海道大学 (2019-2021)

研究代表者

吉永 正彦  大阪大学, 大学院理学研究科, 教授 (90467647)

研究期間 (年度) 2019-06-28 – 2023-03-31
キーワードマグニチュードホモロジー / 距離空間 / マグニチュード
研究成果の概要

本研究では、マグニチュードホモロジーの新しい解釈を導入し基本的な性質の研究を行った。すなわち、距離空間の時空に因果関係から定まる順序を定め、この順序集合の区間の順序複体の商空間として「マグニチュードホモトピー型」という空間を定めた。マグニチュードホモトピー型の被約ホモロジー群はマグニチュードホモロジーと一致する。
マグニチュードホモトピー型は、距離空間に対する経路空間を定式化したものと考えることもできる。マグニチュードホモトピー型に離散モース理論を適用することで、Mayer-Vietoris型定理など既存の結果の別証明を得、距離空間のある種のひねりに対するマグニチュードの不変性を示した。

自由記述の分野

数学

研究成果の学術的意義や社会的意義

本研究は、距離空間の時空の因果関係から定まる順序集合の順序複体、という新しい観点から「マグニチュードホモトピー型」を導入し、その空間に離散モース理論を適用することでマグニチュードホモロジーの基本的な性質を調べた。マグニチュードホモトピー型は、距離空間版の「経路空間」とみなすことができ、マグニチュードは「距離空間の経路空間上のオイラー標数積分」と解釈できる。
マグニチュードは距離空間の大まかなサイズを測る不変量で、ビッグデータを扱う際にも有用な概念であることが期待されている。本研究はマグニチュードを統制する幾何学的構造の研究であると位置づけられる。

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公開日: 2024-01-30  

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