| 研究実績の概要 |
今年度は, Ivicの予想の部分結果を与えることを目標に, 引き続き原始過剰数の個数に関する研究を続けた. 特に, 前年度までに得ていた原始過剰数の個数のlower boundに対するheuristicsを定理の形でまとめることを試みた. 結論としては現段階の定理では既存の結果を改善することはできていないが, 先行結果であるErdos, Ivic, Avidonとは違う系列の原始過剰数によってErdosの結果を再現できることがわかった. 先行結果での原始過剰数の系列では, Avidonのlower boundが限界であることがわかるが, これは小さい素因数を含まない系列を考えているのが原因である. 今回用いた新しい系列は, 最終的な結果は弱いものの, この障壁を取り除くことに成功している. 既存の結果を改善できないのは, heuristicsの中での細かい数え上げをすべて正当化するために, 生成する原始過剰数に人工的な制約ないしは構造を入れてしまったのが原因だと思われる. しかし, まだ本質的な困難さの洗い出しは不完全である. また, 先行結果の原始過剰数の系列と本研究での原始過剰数の系列の間の差異は大きいものに感じられ, この２つの系列の間のある種のinterpolationも問題意識として得られた.
関連して, 以前2つの素数の積について共同研究を行ったSaad Eddin氏とその共同研究者Pieter Moree氏と素因数分解の形に制約のある数の分布について議論を始めた. この共同研究での知見や, practical numberに対するWeingartner氏の手法や, 篩法のBuchstab iterationに現れるような遅れのある微分方程式を原始過剰数の分布に応用するという新しいアイデアも得られた.
|
| 今後の研究の推進方策 |
素数の加法的問題の短区間上の平均については, 素数と素数の平方の和だけでなく他の加法的問題を取り組む事も考える. 原始過剰数の数え上げについては, 既存の結果を改良するものでなくても種々の方法をなるべく一般的な形でまとめ, 個々のパラメータの影響を吟味し, 数え上げの困難な点を洗い出す. また, practical numberに対するWeingartnerの手法を取り入れることも試みる.
|
| 次年度使用額が生じた理由 |
次年度使用額が生じた理由は, 新型コロナウイルスにより参加予定であった種々の研究集会が中止・延期になったため, これらの出張の旅費として割り当てていた額が使用できなかったためである. この次年度使用額については, 次年度はいくつかの中止された研究集会が対面により再実施される予定であるので, これら集会への参加の旅費として使用する予定である.
|
