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この研究計画の目標は横磁場SK模型を最適制御理論を用いて解析することであるが、横磁場SK模型ではレプリカ法の影響により、虚時間方向に長距離の相互作用が生じるため、最適制御理論を直接適用することは出来ない。
三年目では昨年度に引き続き、確率微分方程式によってSK模型を量子拡張した模型の解析に集中した。この模型はレプリカ法を用いた際に虚時間方向の長距離相 互作用が生じないため、静的近似が厳密であることが強く示唆される模型であり、確率的最適制御理論による解析も可能であると期待される模型である。
昨年度までで、レプリカ法を用いることにより、静的近似とレプリカ対称性の仮定の下で自由エネルギーの解析解を得ていた。今年度はレプリカ法の結果の正当性を検証するために、確率微分方程式に対するApproximate Message Passing(AMP)アルゴリズムを開発し、確率微分方程式によって量子拡張したSK模型に適用した。その結果、確率微分方程式に対するAMPアルゴリズムを用いてレプリカ法の結果を再現することに成功した。この結果は高温相ではレプリカ法の結果が信頼できる結果であることを意味している。また、古典SK模型などで知られているレプリカ対称解とAMPアルゴリズムの対応関係が確率微分方程式においても成立するという点でも興味深い結果である。
上記の解析により、レプリカ対称解の領域の解析は満足にいくものとなった。今後は確率的最適制御理論を用いてレプリカ対称解の解析が数学的に厳密であることを証明するのが今後の課題である。また、1RSB解の構成も重要な課題である。素朴には古典SK模型の1RSB解の方法を適用すれば良いと考えられるが、確率微分方程式によって量子拡張したSK模型では代数的な困難さにより、1RSB解の解析解を書き下すことに成功していない。
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