| 研究課題/領域番号 |
19KK0348
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| 研究機関 | 大阪大学 |
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研究代表者 |
大川 新之介 大阪大学, 大学院理学研究科, 准教授 (60646909)
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| 研究期間 (年度) |
2021 – 2023
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| キーワード | 非可換代数幾何学 / ワイル群 / 3次曲面 |
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| 研究実績の概要 |
昨年度に引き続き、ある種の非可換3次元射影空間に含まれる3次曲面を非可換射影平面の6点爆発として実現するという問題について研究を行った。結論から述べると、細部の検証は今後の課題として、この問題を実質的に解決することができた。
当初の目論見では、変形理論を用いて3次曲面の上に然るべき交叉関係を持った6本の直線が存在することを証明し、それらに対して既存の収縮定理を適用することで問題を解決するという方針であった。しかし、この方法では一般の3次曲面しか扱えない、収縮定理を使うための条件(曲面の非特異性)を確認できない、という問題があった。また、「どの6点爆発がどの非可換3次元射影空間に含まれるか」という情報までは得られないという欠点があった。
今年度最も画期的だったのは、これらを一挙に解決する、より良い視点に気付いたことであった。具体的には、非可換6点爆発のモジュライから非可換3次元射影空間のモジュライへの「埋め込み先を取る」という(有理)射を同定することができれば、上記の問題が一挙に解決するという事実に気付いたことであった。そして、その同定に成功した。
具体的には、モジュライの間の有理射がE6型ワイル群の作用による商と(具体的な)重み付き射影空間の間の射影を合成したものに一致するというのが結論である。この射は昨年度にこの話の古典極限に相当するPoisson幾何の問題を解決した際に登場していたものである。要するに、結局、非可換の場合も全く同じ有理射になるというのが結論であった。
主結果の証明の途中で、(非可換)3次曲面上の直線のモノドロミーを調べる必要が生じた。ここで得られた結論の系として、特異なものも含めて、3次曲面上の直線の本数を記述することもできた。
また、本課題によってベルギーに長期滞在をしている間に、非可換代数幾何学に関するその他幾つかの結果も得られた。詳細は基課題の報告に譲る。
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| 現在までの達成度 (区分) |
現在までの達成度 (区分)
1: 当初の計画以上に進展している
理由
昨年度に古典極限の場合が解決していたので、それが何らかの足がかりになるであろうという見通しで非可換の場合を調べていたが、期待以上にうまくいった。特に、モジュライの間の射を同定することが鍵であり、示したいことはそこから従うという視点に気付けたことが大きかった。今年度の研究により、この種類(R(1,3)型)の非可換3次元射影空間に対する理解が急にクリアになった。
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| 今後の研究の推進方策 |
先ずは、今年度までに得られた結果をまとめると共に細部の議論をちゃんと詰める必要がある。それが終わったら、非可換7点爆発および8点爆発の場合に全く平行な話が成立するはずなので、そちらの研究に進みたい。その際、まずは非可換P(1112)および非可換P(1123)とその上の直線のモジュライについて研究する必要が出るはずである。6点爆発に対応する非可換P(1111)(=非可換3次元射影空間)の場合にはこれはLe Bruyn-Smith-Van den Berghによって既に行われていた研究であるが、それを参考に自前でやる必要がある。共同研究者とも相談しながら研究を進めたい。
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