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2011 年度 実績報告書

ポテンシャル問題の多面的研究

研究課題

研究課題/領域番号 20244007
研究機関北海道大学

研究代表者

相川 弘明  北海道大学, 大学院・理学研究院, 教授 (20137889)

研究分担者 志賀 啓成  東京工業大学, 理工学研究科, 教授 (10154189)
木上 淳  京都大学, 情報学研究科, 教授 (90202035)
利根川 吉廣  北海道大学, 大学院・理学研究院, 教授 (80296748)
平田 賢太郎  秋田大学, 教育文化学部, 准教授 (30399795)
大野 貴雄  大分大学, 教育福祉科学部, 講師 (40508511)
キーワードHarnack不等式 / 境界Harnack原理 / 楕円型作用素の摂動 / Cauchy積分 / ヘルダー連続性 / 変動指数 / 確率過程 / 平均曲率流
研究概要

研究代表者は古典的なHarnack不等式を拡張し,途中に障害物がある場合でも同様の結果が得られる条件を発見した.その応用として対数型の連続率を持つHolder領域に対して,境界Harnack原理を導いた.障害物を許したHarnack不等式は今まで考察されたことがなく,様々な応用・発展が期待される.
研究分担者は以下のような多様な成果を導き,ポテンシャル問題を豊かに展開した.
「定数関数1が付随する楕円型作用素の半小摂動である」ための特徴付けと初期値問題の非負値解の一意性が成り立つための最適な十分条件を与えることにより,熱方程式の非負値解の構造を解明した.
優調和関数と半線形楕円型方程式の解のヘルダー連続性と除去可能集合のハウスドルフ次元の関係について考察した.
Cauchy積分の境界値と境界関数を定義する特異積分の連続度に新しい知見を得た.リーマン面のモジュライ空間の1点の単射半径をその点を表すリーマン面の双曲構造を用いて下から評価した.
媒質について確率1のレベルで確率過程のスケール極限が反射壁ブラウン運動になることを証明した.モデル1:半平面や1/4平面上の優臨界確率ボンドパーコレーションクラスター上の単純ランダムウォーク,モデル2:錐状領域の上に定義された,係数がランダムで一様楕円なdivergence form.
変動指数をもつMorrey空間やOrlicz空間,またその一般化であるMusielak-Orlicz空間におけるSobolevの不等式,Hardyの不等式,容量等の研究を行った.
k次元曲面族が平均曲率流であるとは,速度が平均曲率に等しいときであるが,その高さが小さいときには内部正則に関するノルム評価ができることを示した.
単位円板上で正規化された正則函数のベキ変形を考察し,変形が単葉となるような指数全体の集合の基本的な性質について調べた.

現在までの達成度 (区分)
現在までの達成度 (区分)

1: 当初の計画以上に進展している

理由

本研究の目的はポテンシャル問題の新局面を多面的に展開することである.研究代表者は古典的ポテンシャル問題のHarnack不等式を今までにない,除外集合を許容する形に拡張した.想定されていなかった問題意識があるので,今後の応用・展開が期待される.研究分担者は複素解析学,偏微分方程式や確率論,物理現象などに様々な問題を開拓し,ポテンシャル問題を豊かにするとともに,将来の発展方向を示すことができた.

今後の研究の推進方策

平成24年度は本研究課題の最終年度にあたる.平成24年9月に京都大学数理解析研究所で本研究課題に密接に関係する国際研究集会「Potential Theory and Its Related Fields」を開催する.国内外の一流の研究者と問題意識を共有することによって,ポテンシャル問題のさらなる発展を目指す.また,研究代表者は6月にFinland-Romaniaセミナーに招待されている.除外集合を持ったHarnack不等式が様々な角度に拡張される可能性があることを報告し,多くの研究者がポテンシャル問題に参画できるように努める.研究分担者はポテンシャル問題の様々な発展を,他分野との連携を通して行う.また,若手奨励など幅広くポテンシャル問題の裾野を広げる研究活動を行う.

  • 研究成果

    (43件)

すべて 2012 2011 その他

すべて 雑誌論文 (22件) (うち査読あり 22件) 学会発表 (20件) 備考 (1件)

  • [雑誌論文] Extending holomorphic motions and monodromy2012

    • 著者名/発表者名
      Michael Beck
    • 雑誌名

      Annales Academia; Scientiarum Fennica; Mathematica

      巻: 37 ページ: 53-67

    • DOI

      10.5186/aasfm.2012.3713

    • 査読あり
  • [雑誌論文] Quasiconformal motions and isomorphisms of continuous families of Mobius groups2012

    • 著者名/発表者名
      Yunping Jiang
    • 雑誌名

      Israel Journal of Mathematics

      巻: 188 ページ: 177-194

    • DOI

      10.1007/s11856-011-0098-1

    • 査読あり
  • [雑誌論文] Convergence of mixing times for sequences of random walks on finite graphs2012

    • 著者名/発表者名
      D.A. Croydon
    • 雑誌名

      Electron. J. Probab.

      巻: 17 ページ: 1-32

    • DOI

      10.1214/EJP.v17-1705

    • 査読あり
  • [雑誌論文] Schatten class Toeplitz operators on the parabolic Bergman space II2012

    • 著者名/発表者名
      M.Nishio, N.Suzuki, M.Yamada
    • 雑誌名

      Kodai Math.J.

      巻: 35 ページ: 52-77

    • 査読あり
  • [雑誌論文] Iterated maximal functions in variable exponent Lebesgue spaces2011

    • 著者名/発表者名
      P.Harjulehto, P.Hasto, Y.Mizuta, T.Shimomura
    • 雑誌名

      Manuscripta Math.

      巻: 135 ページ: 381-399

    • DOI

      10.1007/s00229-010-0421-x

    • 査読あり
  • [雑誌論文] Dynamics of transcendental entire functions with Siegel disks and its applications2011

    • 著者名/発表者名
      Koh Katagata
    • 雑誌名

      Bulletin of the Korean Mathematical Societ

      巻: 48 ページ: 713-724

    • DOI

      10.4134/BKMS.2011.48.4.713

    • 査読あり
  • [雑誌論文] Nonnegative solutions of the heat equation on rotationally symmetric Riemannian manifolds and semismall perturbations2011

    • 著者名/発表者名
      Minoru Murata
    • 雑誌名

      Rev.Mat.Iberoam.

      巻: 27 ページ: 885-907

    • DOI

      10.4171/RMI/656

    • 査読あり
  • [雑誌論文] Removable sets for continuous solutions of semilinear elliptic equations2011

    • 著者名/発表者名
      Kentaro Hirata
    • 雑誌名

      Manuscripta Math.

      巻: 135 ページ: 245-262

    • DOI

      10.1007/s00229-011-0440-2

    • 査読あり
  • [雑誌論文] Boundary behavior of superharmonic functions satisfying nonlinear inequalities in uniform domains2011

    • 著者名/発表者名
      Kentaro Hirata
    • 雑誌名

      Trans. Amer. Math. Soc.

      巻: 363 ページ: 4007-4025

    • DOI

      10.1090/S0002-9947-2011-05071-3

    • 査読あり
  • [雑誌論文] Holonomies and the slope inequality of Lefschetz fibrations2011

    • 著者名/発表者名
      H.Miyachi, H.Shiga
    • 雑誌名

      Proc.Amer.Math.Soc.

      巻: 139 ページ: 1299-1307

    • 査読あり
  • [雑誌論文] Global Heat Kernel Estimates for Symmetric Jump Processes2011

    • 著者名/発表者名
      Z.-Q.Chen, P.Kim, T.Kumagai
    • 雑誌名

      Trans.Amer.Math.Soc.

      巻: 363 ページ: 5021-5055

    • DOI

      10.1090/S0002-9947-2011-05408-5

    • 査読あり
  • [雑誌論文] Capacity for potentials of functions in Musielak-Orlicz spaces2011

    • 著者名/発表者名
      F.-Y.Maeda, Y.Mizuta, T.Ohno, T.Shimomura
    • 雑誌名

      Nonlinear Anal.

      巻: 74 ページ: 6231-6243

    • DOI

      10.1016/j.na.2011.06.003

    • 査読あり
  • [雑誌論文] Riesz potentials and Sobolev embeddings on Morrey spaces of variable exponent2011

    • 著者名/発表者名
      Y.Mizuta, E.Nakai, T.Ohno, T.Shimomura
    • 雑誌名

      Complex Var.Elliptic Equ.

      巻: 56 ページ: 671-695

    • DOI

      10.1080/17476933.2010.504837

    • 査読あり
  • [雑誌論文] Hardy's inequality in variable exponent Orlicz spaces2011

    • 著者名/発表者名
      Y.Mizuta, E.Nakai, T.Ohno, T.Shimomura
    • 雑誌名

      Hokkaido Math J.

      巻: 40 ページ: 187-203

    • 査読あり
  • [雑誌論文] Hardy spaces and unbounded quasidisks2011

    • 著者名/発表者名
      Y.C.Kim, T.Sugawa
    • 雑誌名

      Ann.Acad.Sci.Fenn.Math.

      巻: 36 ページ: 291-300

    • DOI

      10.5186/aasfm.2011.3618

    • 査読あり
  • [雑誌論文] Geometric invariants associated with projective structures and univalence criteria2011

    • 著者名/発表者名
      S.A Kim, T.Sugawa
    • 雑誌名

      Tohoku Math J.

      巻: 63 ページ: 41-57

    • DOI

      10.2748/tmj/1303219935

    • 査読あり
  • [雑誌論文] Metrics with conical singularities on the sphere and sharp extensions of the theorems of Landau and Schottky2011

    • 著者名/発表者名
      D.Klaus, O.Roth, T.Sugawa
    • 雑誌名

      Math.Z.

      巻: 267 ページ: 851-868

    • DOI

      DOI:10.1007/s00209-009-0649-x

    • 査読あり
  • [雑誌論文] Sharp norm estimate of Schwarzian derivative for a class of convex functions2011

    • 著者名/発表者名
      S.Kanas, T.Sugawa
    • 雑誌名

      Ann.Polon.Math.

      巻: 101 ページ: 75-86

    • DOI

      10.4064/ap101-1-8

    • 査読あり
  • [雑誌論文] Invariant Schwarzian derivatives of higher order2011

    • 著者名/発表者名
      S.A Kim, T.Sugawa
    • 雑誌名

      Complex Analysis and Operator Theory

      巻: 5 ページ: 659-670

    • DOI

      10.1007/s11785-010-0081-6

    • 査読あり
  • [雑誌論文] On the equivalence of parabolic Harnack inequalities and heat kernel estimates

    • 著者名/発表者名
      M.T.Barlow, A.Grigor'yan, T.Kumagai
    • 雑誌名

      J.Math.Soc.Japan

      巻: (to appear)

    • 査読あり
  • [雑誌論文] Markov chain approximations to non-symmetric diffusions with bounded coefficients

    • 著者名/発表者名
      J.-D. Deuschel, T.Kumagai
    • 雑誌名

      Comm.Pure Appl.Math.

      巻: (to appear)

    • 査読あり
  • [雑誌論文] Discrete Approximation of Symmetric Jump Processes on Metric Measure Spaces

    • 著者名/発表者名
      Z.-Q.Chen, P.Kim, T.Kumagai
    • 雑誌名

      Probab.Theory Relat.Fields

      巻: (to appear)

    • 査読あり
  • [学会発表] Partition, volume doubling property and quasi symmetry on metric spaces2012

    • 著者名/発表者名
      J.Kigami
    • 学会等名
      AMS 1078th meeting, special session "Geometry and Analysis on Fractal Spaces"
    • 発表場所
      ハワイ大学(アメリカ)(招待講演)
    • 年月日
      2012-03-08
  • [学会発表] Extended Harnack inequality2012

    • 著者名/発表者名
      H. Aikawa
    • 学会等名
      The 1078th AMS Meeting
    • 発表場所
      ハワイ大学(アメリカ)(招待講演)
    • 年月日
      2012-03-03
  • [学会発表] Quenched invarnance principle for random walks and random divergence forms m random media on cones2012

    • 著者名/発表者名
      T.Kumagai
    • 学会等名
      The expanding art of expansions
    • 発表場所
      ユーランダム研究所(オランダ)(招待講演)
    • 年月日
      2012-02-14
  • [学会発表] Extended Harnack inequality2012

    • 著者名/発表者名
      H.Aikawa
    • 学会等名
      関西確率論セミナー
    • 発表場所
      京都大学(京都市)(招待講演)
    • 年月日
      2012-02-10
  • [学会発表] A new reglarity theorem for weak mean curvature flow2011

    • 著者名/発表者名
      Y.Tonegawa
    • 学会等名
      The Eighth East Asia Conference on PDE
    • 発表場所
      ポハン大学(大韓民国)(招待講演)
    • 年月日
      2011-12-20
  • [学会発表] Power deformations of univalent functions2011

    • 著者名/発表者名
      T.Sugawa
    • 学会等名
      19th ICFIDCAA
    • 発表場所
      広島アステールプラザ(広島市)
    • 年月日
      2011-12-14
  • [学会発表] Admissible boundary limits of Green potentials satisfying nonlinear inequalities in the unit ball of C^n2011

    • 著者名/発表者名
      Kentaro Hirata
    • 学会等名
      19th ICFIDCAA
    • 発表場所
      広島アステールプラザ(広島市)(招待講演)
    • 年月日
      2011-12-14
  • [学会発表] On the local regularity theorem for weak mean curvature flow2011

    • 著者名/発表者名
      Y.Tonegawa
    • 学会等名
      Sino-Japan Conference of Young Mathematicians
    • 発表場所
      南海研究所(中華人民共和国)(招待講演)
    • 年月日
      2011-12-06
  • [学会発表] Extended Harnack inequality2011

    • 著者名/発表者名
      H.Aikawa
    • 学会等名
      The 7th HU and SNU Symposium on Mathematics
    • 発表場所
      ソウル国立大学(大韓民国)(招待講演)
    • 年月日
      2011-11-16
  • [学会発表] Dirichlet forms on a noncompact Cantor set and random walk on its defining tree2011

    • 著者名/発表者名
      J.Kigami
    • 学会等名
      First International meeting PISRS, Analysis, Fractal Geometry, Dynamical Systems and Eonomics
    • 発表場所
      メッシーナ大学(イタリア)(招待講演)
    • 年月日
      2011-11-10
  • [学会発表] Dirichlet forms on a noncompact Cantor set and random walk on its defining tree2011

    • 著者名/発表者名
      J.Kigami
    • 学会等名
      Workshop "Foundation of Stochastic Analysis"
    • 発表場所
      バンフ国際研究所(カナダ)(招待講演)
    • 年月日
      2011-09-21
  • [学会発表] 非線形不等式を満たす優調和関数の非接極限定理とCarleson評価2011

    • 著者名/発表者名
      平田賢太郎
    • 学会等名
      第46回函数論サマーセミナー
    • 発表場所
      かんぽの宿別府(別府市)(招待講演)
    • 年月日
      2011-09-13
  • [学会発表] Convergence of mixing times for sequences of random walks on finite graphs2011

    • 著者名/発表者名
      T.Kumagai
    • 学会等名
      4th Cornell Conference on Analysis, Probability, and Mathematical Physics on Fractals
    • 発表場所
      コーネル大学(アメリカ)(招待講演)
    • 年月日
      2011-09-13
  • [学会発表] Closure of S¥I2011

    • 著者名/発表者名
      J.Kigam
    • 学会等名
      AMS 1072th meeting, special session "Analysis, Probability, and Mathematical Physics on Fractals"
    • 発表場所
      コーネル大学(アメリカ)(招待講演)
    • 年月日
      2011-09-10
  • [学会発表] Markov chain approximations to non-symmetric diffusions with bounded coefficients2011

    • 著者名/発表者名
      T.Kumagai
    • 学会等名
      5th international conferences on Stochastic Analys is and its Applications
    • 発表場所
      ボン大学(ドイツ)(招待講演)
    • 年月日
      2011-09-05
  • [学会発表] A new proof of Brakke's partial regularity for MCF2011

    • 著者名/発表者名
      Y.Tonegawa
    • 学会等名
      Workshop Partial Differential Equations'
    • 発表場所
      オーベルバッハ研究所(ドイツ)(招待講演)
    • 年月日
      2011-08-11
  • [学会発表] Potential analysis on nonsmooth domains2011

    • 著者名/発表者名
      H. Aikawa
    • 学会等名
      Complex analysis and potential theory
    • 発表場所
      モントリオール大学(カナダ)(招待講演)
    • 年月日
      2011-06-21
  • [学会発表] Convergence of mixing times for sequences of random walks on graphs2011

    • 著者名/発表者名
      T.Kumagai
    • 学会等名
      Stochastic Analysis
    • 発表場所
      オーベルバッハ研究所(ドイツ)(招待講演)
    • 年月日
      2011-06-02
  • [学会発表] Potential analysis on nonsmooth domains2011

    • 著者名/発表者名
      H.Aikawa
    • 学会等名
      UW Differential Geometry/PDE Seminar
    • 発表場所
      ワシントン大学(アメリカ)(招待講演)
    • 年月日
      2011-04-28
  • [学会発表] Convergence of centered Markov chains to non-symmetric diffusions with bounded coefficients2011

    • 著者名/発表者名
      T.Kumagai
    • 学会等名
      Stochastic Partial Differential Equations and Rela ted Topics
    • 発表場所
      天津大学(中華人民共和国)(招待講演)
    • 年月日
      2011-04-25
  • [備考]

    • URL

      http://www.math.sci.hokudai.ac.jp/~aik/index-j.html

URL: 

公開日: 2013-06-26  

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