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2011 年度 実績報告書

多重ゼータ関数の解析的構造と数論的性質

研究課題

研究課題/領域番号 20340003
研究機関名古屋大学

研究代表者

松本 耕二  名古屋大学, 多元数理科学研究科, 教授 (60192754)

研究分担者 小森 靖  立教大学, 理学部, 准教授 (80343200)
キーワードゼータ関数 / L関数 / 多重ゼータ値 / 多重ゼータ関数 / 保型L関数 / 平均値定理 / ルート系 / ワイル群
研究概要

今年度は、まず多重ゼータ値をC型のルート系のゼータ関数の特殊値と見て考察する、という方向の研究が大きく進展した。Zagierによるゼータ値の公式がWittenの体積公式の特殊な場合であることを明らかにし、いわゆるパリティ結果を含む新しい種々の公式を、ワイル群の作用の帰結として導いた。ここに現われる部分ルート系が、解析的に良いクラスである(Mellin-Barnesの積分の作用で閉じている)ことも判明した。また、ワイル群の作用の立場から、従来の制限和公式をさらに細分化した形の精密な和公式が、一般のdepthに対して成立することを発見した。その系として、今まではdepth 4までしか知られていなかった制限和公式を、一般のdepthにまで拡張した。こうした一連の結果は、現在盛んに研究されている多重ゼータ値の理論の背後に、ワイル群の作用という構造論が存在することを明らかにし、この理論の新しい方向性を示唆するものである。また、より解析的な方向では、多重保型L関数に対して、関数等式というべきいくつかの等式が成立していることを見いだした。そのうちあるものはEuler-Zagier型の多重和について以前に発見していたものの保型アナロジーであり、あるものはその結果に保型性を適用して得られるものであり、また全く異なるアプローチによる別のタイプの関数等式も発見した。さらに、Euler-Zagier型の二重ゼータ関数についてはその平均値の研究を行ない、二乗平均値の漸近公式を二つの変数の実部の和が3/2より大きいときに証明し、Lindelof予想のある種の二重類似を定式化した。

現在までの達成度 (区分)
現在までの達成度 (区分)

1: 当初の計画以上に進展している

理由

多重ゼータ値をC型のルート系のゼータの出場で理解する試みは、予想以上に多くの成果をもたらしつつある。

今後の研究の推進方策

多重ゼータ関数の解析的構造が、Weyl群による作用の枠組と連動する形で、かなり浮かび上ってきている。この方向をさらに推進して解析的構造論を確立することを目標とし、津村氏、Y.Choie氏らとの共同研究をすすめる。

  • 研究成果

    (4件)

すべて 2011

すべて 雑誌論文 (3件) (うち査読あり 3件) 学会発表 (1件)

  • [雑誌論文] Shuffle products for multiple zeta values and partial fraction decompositions of zeta-functions of root systems2011

    • 著者名/発表者名
      Komori, Matsumoto, Tsumura
    • 雑誌名

      Math.Z.

      巻: 268 ページ: 993-1011

    • 査読あり
  • [雑誌論文] On certain mean values and the value-distribution of logarithms of Dirichlet L-functions2011

    • 著者名/発表者名
      Y.Ihara, K.Matsumoto
    • 雑誌名

      Quart.J.Math.(Oxford)

      巻: 62 ページ: 637-677

    • 査読あり
  • [雑誌論文] Multiple zeta-functions associated with linear recurrence sequences and the vectorial sum formula2011

    • 著者名/発表者名
      Essouabri, Matsumoto, Tsumura
    • 雑誌名

      Canad.J.Math.

      巻: 63 ページ: 241-276

    • 査読あり
  • [学会発表] On random multiple Dirichlet series2011

    • 著者名/発表者名
      K.Matsumoto
    • 学会等名
      5th Intem.Conf.on Anal.Prob.Meth.Numb.Th.
    • 発表場所
      Palanga (Lithuania)
    • 年月日
      2011-09-05

URL: 

公開日: 2013-06-26  

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