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2011 年度 実績報告書

集合論の証明論的研究

研究課題

研究課題/領域番号 20340020
研究機関千葉大学

研究代表者

新井 敏康  千葉大学, 大学院・理学研究科, 教授 (40193049)

キーワード数学基礎論
研究概要

PLS(Polynomial Local Search)を拡張したnested PLSというクラスを導入し、nested PLSが有界算術$T^{2}_{2}$での証明つき計算可能関数のクラスと一致することを示した。PLSはS, Bussらにより$T^{1}_{2}$に対応することが示されていた。
またepsilon processesの長さの限界を正確に超限帰納法による計算($\alpha$-recursion)によって与えた。
次にintuitionistic logicでのstrictly positive formulasのcut消去は指数関数による証明の長さの増大しかもたらさないことを示し、これによりstrictly positive operatorsによるintuitionistic logicに基づく不動点理論がintuitionistic arithmeticの保存拡大であることを証明した。Intuitionistic logicに基づく不動点理論に関する従来知られていた証明論的諸結果すべてを包含するものである。
さらに$\Delta∧{0}_{2}$でああることが証明できる集合をErshov hierarchyのどこに位置するかを、その証明が形式化できる公理系によって分類した。これは関数の収束性がある順序数からの下降列の非存在から導かれるということである。
また、その多くの部分が未だ出版されていない順序数論の証明論の概略と近況を述べた。

現在までの達成度 (区分)
現在までの達成度 (区分)

3: やや遅れている

理由

勤務地異動と書籍執筆および組織運営(学科長)によるものと思われる。

今後の研究の推進方策

引き続き集合論の証明論的研究を中心課題として鋭意取り組んでいく。
ZFでの可算順序数の存在の限界および弱コンパクト基数の存在のもとでのマーロ作用素の繰返し回数の限界、そして反映的順序数での一つ下の論理式の階層による反映の繰返しによる証明論的近似については結果を得た。その後、記述不能基数を特徴付けるstationarityの拡張や反映的順序数のマーロ作用素による指数構造を介した近似、J.Silverのゼロシャープなどを考察していく所存である。
さらに集合上の多項式時間計算可能関数を生成する規則とそのための公理系もつくる。

  • 研究成果

    (11件)

すべて 2012 2011 その他

すべて 雑誌論文 (5件) (うち査読あり 5件) 学会発表 (4件) 図書 (1件) 備考 (1件)

  • [雑誌論文] A sneak preview of proof theory of ordinals2012

    • 著者名/発表者名
      Toshiyasu Arai
    • 雑誌名

      Annals of the Japan Association for Philosophy of Science

      巻: 20 ページ: 29-47

    • 査読あり
  • [雑誌論文] Provably $\Delta_{2}$ and weakly descending chains2012

    • 著者名/発表者名
      Toshiyasu Arai
    • 雑誌名

      Proceedings of the 11th Asian Logic Conference

      巻: 1 ページ: 1-21

    • 査読あり
  • [雑誌論文] Quick cut-elimination for strictly positive cuts2011

    • 著者名/発表者名
      Toshiyasu Arai
    • 雑誌名

      Annals of Pure and Applied Logic

      巻: 162 ページ: 807-815

    • 査読あり
  • [雑誌論文] Exact bounds on epsilon processes2011

    • 著者名/発表者名
      Toshiyasu Arai
    • 雑誌名

      Archive for Mathematical Logic

      巻: 50 ページ: 445-458

    • 査読あり
  • [雑誌論文] Nested PLS2011

    • 著者名/発表者名
      Toshiyasu Arai
    • 雑誌名

      Archive for Mathematical Logic

      巻: 50 ページ: 395-409

    • 査読あり
  • [学会発表] Bounds on provability in set theories2012

    • 著者名/発表者名
      Toshiyasu Arai
    • 学会等名
      Workshop on proof theory and computability theory 2012
    • 発表場所
      晴海グランドホテル
    • 年月日
      2012-02-21
  • [学会発表] Searching witnesses of $\Sigma^{0}_{2}$-formulas in proofs2011

    • 著者名/発表者名
      Toshiyasu Arai
    • 学会等名
      東北大学ロジックセミナー
    • 発表場所
      東北大学(招待講演)
    • 年月日
      2011-12-26
  • [学会発表] はじめての数学基礎論2011

    • 著者名/発表者名
      新井敏康
    • 学会等名
      日本数学会
    • 発表場所
      信州大学(招待講演)
    • 年月日
      2011-09-28
  • [学会発表] Two contributions in proof theory on sets2011

    • 著者名/発表者名
      Toshiyasu Arai
    • 学会等名
      Workshop on proof theory and theory of computing 2011
    • 発表場所
      首都大学東京
    • 年月日
      2011-09-13
  • [図書] 数学基礎論2011

    • 著者名/発表者名
      新井敏康
    • 総ページ数
      550
    • 出版者
      岩波書店
  • [備考]

    • URL

      http://researchmap.jp/tosarai/

URL: 

公開日: 2013-06-26  

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