| 研究概要 |
まず,平面グラフの概念の拡張として,K_<3,t>をマイナーとして持たない3連結グラフの全域木に関する研究を重点的に行った.このようなグラフの族では,取り除いた頂点数に対して生じる連結成分の個数がある程度抑えられるという事実は先行研究で分かっていた.その帰結として,最大次数がt+1以下である全域木の存在は知られている.これに対し,最大次数がt以下である全域木を持たないグラフで,マイナーに関して極小なグラフの性質を調べることにより,そのようなグラフはK_<3,t>をマイナーとして持つことがわかった.すなわち,K_<3,t>をマイナーとして持たない3連結グラフには,最大次数がt以下の全域木が存在することが示された.さらに,tが偶数のときには,全域木の最大次数をさらに1だけ下げられる見込みも立っている.これらの事実は,次数制約付き全域木に関する結果としては,最善の結果といえる.
禁止マイナーの観点から閉路問題,全域木問題,因子問題を解明するにあたり,まず禁止部分グラフに関する研究の再検討を行った.まず,完全マッチングと禁止部分グラフの関連についてはよく知られている事実がある.例えば,クローと呼ばれる4頂点のグラフを誘導部分グラフとして含まない偶数頂点からなる連結グラフは完全マッチングを持つ.この研究を極限まで推し進め,完全マッチングの存在を保証するような禁止誘導部分グラフの組み合わせをすべて決定することができた.その研究過程で得られた事実として,ある種の禁止誘導部分グラフについては,複数のグラフを禁止することにより,そこに明示されていないあるグラフを暗黙のうちに禁止することがある.このような現象がどのような形で禁止マイナーについて起きるかについては興味深い.
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