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2010 年度 実績報告書

完全非線形方程式の粘性解理論とその応用

研究課題

研究課題/領域番号 20340026
研究機関埼玉大学

研究代表者

小池 茂昭  埼玉大学, 大学院・理工学研究科, 教授 (90205295)

研究分担者 石井 仁司  早稲田大学, 教育・総合科学学術院, 教授 (70102887)
三上 敏夫  広島大学, 大学院・工学研究科, 教授 (70229657)
石井 克幸  神戸大学, 大学院・海事科学研究科, 准教授 (40232227)
長井 英生  大阪大学, 大学院・基礎工学研究科, 教授 (70110848)
キーワード粘性解 / 最大値原理 / 弱ハルナック不等式 / 比較原理 / プラグメン・リンデレフ定理 / 局所最大値原理 / 完全非線形方程式 / 確率最適制御
研究概要

Swiech(ジョージア工科大学教授)との共同研究によって、完全非線形2階一様楕円型偏微分方程式が1階微分項に非有界係数がある場合のLp粘性劣解の局所最大値原理を得た。これを用いて、従来の我々が得たLp粘性優解に対する弱ハルナック不等式と合わせて、Lp粘性解のハルナック不等式を導いた。更に、臨界指数の場合の弱ハルナック不等式、局所最大値原理の部分的解決を得た。また、1階微分項が一次以上の増大度を持つ場合の局所最大値原理についても研究をした。
Ley(レンヌ大学教授)との共同研究によって、非有界領域において、一階微分項が1次以上の増大度を持ち、一階微分に関して凸性を仮定した場合の完全非線形退化2階楕円型偏微分方程式の粘性解が属する適切な関数空間を設定し、その下で粘性解の比較原理を導いた。我々の導入した関数空間が適切であることを確かめるために、関数空間を少し大きくすると、比較原理が成立しない具体例も与えた。更に、一階微分に関して凸性を仮定しない場合の比較原理を、いくつかの場合に示した。具体的には、領域が一階微分に関して凸な部分と凹な部分に分かれている場合といくつかの凸関数の最小値を取った場合である。また、方程式系へも比較原理を一般化した。
Vitolo(サレルノ大学教授)と中川(埼玉大学非常勤研究員)と、更に広い範疇に属する領域に対しても、Phragmen-Lindelof定理の一般化を試みた。途中段階として、従来の結果における粘性解の増大度に関する仮定を緩めることができることを確かめた。

  • 研究成果

    (9件)

すべて 2011 2010

すべて 雑誌論文 (4件) (うち査読あり 3件) 学会発表 (5件)

  • [雑誌論文] Non-local Hamilton-Jacobi equations arising in dislocation dynamics2010

    • 著者名/発表者名
      H.Ishii, Y.Matsumura
    • 雑誌名

      Z.Anal.Anwend.

      巻: 37 ページ: 309-350

    • 査読あり
  • [雑誌論文] A class of integral equations and approximation of p-Laplace equations2010

    • 著者名/発表者名
      H.Ishii, G.Nakamura
    • 雑誌名

      Calc.Var.Partial Differential Equations

      巻: 20 ページ: 52-89

    • 査読あり
  • [雑誌論文] Asymptotics of the probability minimizing a "down-side"risk2010

    • 著者名/発表者名
      H.Hata, H.Nagai, S.-J.Shue
    • 雑誌名

      Ann.Appl.Probab.

      巻: 20 ページ: 109-114

    • 査読あり
  • [雑誌論文] Weak Harnack inequality for fully nonlinear PDEs with superlinear growth terms in Du2010

    • 著者名/発表者名
      S.Koike
    • 雑誌名

      数理解析研究所講究録「微分方程式の粘性解理論とその周辺」

      巻: 1695 ページ: 139-147

  • [学会発表] On viscosity solutions of fully nonlinear elliptic PDE with measurable and unbounded ingredients2011

    • 著者名/発表者名
      小池茂昭
    • 学会等名
      Nonlinear PDE's, Valparaiso
    • 発表場所
      Valparaiso(チリ)
    • 年月日
      2011-01-14
  • [学会発表] 完全非線形楕円型偏微分方程式のLp粘性解について2010

    • 著者名/発表者名
      小池茂昭
    • 学会等名
      研究集会「微分方程式の総合的研究」
    • 発表場所
      京都大学
    • 年月日
      20101218-20101219
  • [学会発表] On the weak Hamack inequality for fully nonlinear PDEs with unbounded ingredients2010

    • 著者名/発表者名
      小池茂昭
    • 学会等名
      研究集会"Viscosity methods and nonlinear PDE"
    • 発表場所
      北海道大学
    • 年月日
      2010-07-21
  • [学会発表] Weak Harnack inequality for fully nonlinear PDFs with unbounded ingredients2010

    • 著者名/発表者名
      小池茂昭
    • 学会等名
      Positivity : A key to fully nonlinear equations Conference
    • 発表場所
      Salerno(イタリア)
    • 年月日
      2010-06-02
  • [学会発表] Lp粘性解の最近の進展について2010

    • 著者名/発表者名
      小池茂昭
    • 学会等名
      第8回浜松偏微分方程式研究集会
    • 発表場所
      静岡大学工学部
    • 年月日
      2010-02-21

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公開日: 2012-07-19  

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