| 研究概要 |
円周上の対称構造の研究は,一方ではリーマン面の漸近的タイヒミュラー空間の理論へと一般化された.本研究課題においては,フックス群作用で不変な対称構造,つまり,リーマン面上の対称構造の研究を行うことを目的としている.前年度までの研究では,群不変対称構造の変形空間を定義し,それが剛性をもたないフックス群に対しては非可分な空間となることが示された.今年度の研究では,リーマン面の自己同型群で固定される漸近的タイセミュラー類について考察し,以下の結果の証明を得た.無限型リーマン面Rとその等角自己同型からなる無限群Gが任意に与えられたとき,Gの写像類で固定される漸近的タイヒミュラー類全体は,Rの漸近的タイヒミュラー空間AT(R)の部分空間AT(R, G)をなす.AT(R)を底空間とするタイヒミュラー空間T(R)のG-不変なファイバーがAT(R, G)の各点に対応するが,このファイバーの中にはGの作用で固定点をもたないものが必ず存在する.タイヒミュラー空間のベアス埋め込みを用いれば,このファイバーはある正則2次微分のなす可分なバナッハ空間の中に実現でき,Gはその等長変換として,軌道は有界であるが固定点はもたずに作用している.この結果は,バナッハ空間に等長的に作用する離散群の固定点性質について,バナッハ空間の凸性に関する条件が不可欠であることも示唆している.漸近的タイヒミュラー空間に作用するモジュラー群の固定点を探す問題の応用として,ニールセン実現問題の類似が成立することもわかった.
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