| 研究概要 |
前年度までの研究において,フックス群作用で不変な対称構造の変形空間の非自明性の問題を,リーマン面の等角自己同型群で不変な対称構造の変形空間にまで拡張し,その上でタイヒミュラー空間論が展開できるための下地をつくった.この研究テーマに関連して,今年度は以下の成果を得た.
(1)無限型リーマン面の擬等角写像類群の有限生成部分群について,次のような性質をもつことを証明した.(a)擬等角写像類群の有限生成アーベル部分群はコンパクト開位相に関して離散的である.(b)擬等角写像類群の有限生成アーベル部分群は,あるコンパクト部分曲面を停留的に保つならば,タイヒミュラー空間に不連続に作用する.さらにこれらの結果をpolycyclicな部分群にまで拡張した.最終的には有限生成性が擬等角写像類群の性質にどのような制限を与えるかを調べることを目標にしている.
(2)無限次元タイヒミュラー空間に作用する写像類群の部分群とその不変部分空間の研究を,円周の同相写像群がメビウス群と共役になるための条件を与える問題に応用した.普遍タイヒミュラー空間の写像類群は,円周の擬対称写像群と同一視できる.漸近的タイヒミュラー空間上のファイバーを不変にする部分群が対称写像群である.対称写像群の作用の固定点を求めることは上記の共役問題と同値である.写像類群の部分群がタイヒミュラー空間に固定点をもつための必要十分条件は,軌道が有界であることである.よって有界軌道をもつ部分群に制限し,それが不変にする部分空間内に固定点をもつための条件を定式化した.具体的には,対称写像を境界値としてもつ単位円板の擬等角写像の歪曲係数に可積分条件を与え,それをみたす部分群を考えれば,対応する不変部分空間に固定点がみっけられることを示した.
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