| 研究概要 |
統計力学・場の理論・非平衡熱力学・生命現象トップダウンモデリングで導出される非線形偏微分方程式の解の構造を解析的に明らかにし,多粒子系平均場運動に現れる爆発・パターン形成・自己組織化などの臨界現象とその背後にある数理原理を解明する研究を継続した.非平衡熱力学では特に粘性弾性と記憶形状と連続体熱力学の原理を組み込んだ数理モデルの構築とその変分構造を用いて定常解の各種の安定性の関係を明確にした.定常点渦乱流平均場については,多種類の渦度強度が決定論的に混在する場合の平均場極限を導出する一方,最も単純なGel’fand方程式を題材として解の漸近非退化性の解明を進めた.特にハミルトニアンが階層を越えて解空間を規定する原理を確立し,無限次元空間での平均場方程式の解構造が領域のトポロジーと関係していることを明らかにした。天体統計物理学で現れる空間次元3以上の粒子平均場運動方程式では制約条件と臨界指数の関係を明らかにして,定常状態の量子化とその非定常状態へ影響を考察した.腫瘍形成に関わる細胞内タンパク質動態についてのトップダウンモデリングを実施し,揺らぎなどの新しい要因を導入することで浸潤突起が再現されることをシミュレーションで明らかにした.圧縮性流体方程式では,粘性と渦度がない場合に古典解が時間大域的に存在し得ないことを,エネルギー汎関数を用いたハミルトン形式を導入することで証明した.またLotka-Volterra方程式をはじめとする生物モデルでも,そのマクロ部分でハミルトン形式が成り立っていることを明らかにして,解の大域挙動の解明の突破口を開いた.走化性方程式では,多成分系における同時爆発と質量分離をとりあげ,特に爆発点の有限性・コラプスの生成・全質量の量子化を証明した.この過程でこれまでの文献の誤引用を改めて矛盾のない体系を構築するとともに,形式計算のみであった質量分離が実際に正しく証明できるであろうことを,その証明方法ともに提示した.領域の摂動に関するアダマール変分の計算法について簡略な解析的方法を考案し,特にグリーン関数の第2変分について新しい結果を得て,自由境界の数値計算に応用した
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