| 研究概要 |
乱流,記憶形状,自己相互作用流体,腫瘍形成など,臨界状態で現れる界面の出現,解の爆発のような本質的に非線形な現象を記述する数理モデルを研究対象とし,熱力学における変分構造, 統計力学における階層といったいくつかの数学的・物理的原理を有機的に結びつけて新しい解析方法を開拓する
(1)点渦乱流平均場方程式複数個の渦度強度が仮定される場合,渦糸となっている場合等の新しい平均場方程式の導出も含めて,実解析と変分構造から解の性質を明らかにする.自己双対ゲージ理論で現れる数理モデルも含め,特に領域の位相と解集合の関係を解明して,爆発機構の量子化,ハミルトニアンによる循環的階層支配の原理を確立する
(2)走化性方程式腫瘍形成数理モデルと関連付けて,定常状態の量子化から爆発機構の量子化が導出される非線形スペクトル力学の原理を明らかにする.特に多成分系に関する同時爆発と質量分離を解明する
(3)自己重力流体方程式スケーリングと変分構造から臨界指数を検出し,定常・非定常両面から高次元質量量子化を自由境界と絡めて解明する.また圧縮性流体方程式のハミルトン形式を明らかにし,渦度と爆発機構の関係を明確にする
(4)自己組織化方程式形態形成・生態個体数を記述する反応拡散モデルにおいて,ハミルトン構造が内在することを明らかにし,その遷移力学系をshadow systemを用いて分析する
(5)熱力学的現象論方程式相分離・相転移・記憶形状等の連続体力学と熱力学の原理によって記述される数理モデルにおいて,場と粒子の双対性を解明し,semi-minimality-unfoldingから導出される半安定性を用いて遷移的動態を解明する
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