| 研究概要 |
グラフの木被覆問題は,無向グラフの各頂点に隣接するように施設を木状配置する問題との関連から,Arkinらによって導入され,一様コストの場合に2倍近似保証アルゴリズムが示された。その後,一般コストの場合でも2倍近似保証が可能であることが,研究代表者により示された。このように,無向グラフ上の木被覆問題に対する近似可能性の解明は一応の決着が見られたため,同問題を有向グラフ上へ拡張し,その近似可能性について新たに知見を得ることを本研究の目標とした。得られた成果を要約すると,以下の通りである:
1. 層別グラフというグラフクラスがあるが,入力を2層層別グラフに制限し,更に辺コストに制限を加えることで,有向木被覆問題は集合被覆問題と等価となり,後者の近似困難性より,前者の近似保証は(P=NPでない限り)Ω(logn)となる.一方,一般の有向木被覆問題は有向シュタイナー木問題に還元でき,そのためO(n^ε)近似可能である.
2. そこで,入力を2層層別グラフに限定した有向木被覆問題(ただし,辺コストは制限なし)について考え,O(logn)倍近似可能であることを示す.
3. 2.の結果を発展させ,入力をk層層別グラフに限定した有向木被覆問題(ただし,辺コストは制限なし)に対しても,O(log^<k-1>n)倍近似可能であることを示す.
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