| 研究概要 |
概均質ベクトル空間の理論はさまざまな他分野とも関連して発展してきた. 研究代表者の雪江は主に概均質ベクトル空間のゼータ関数の周辺の分野で成果をあげてきた. ゼータ関数には大域理論と局所理論があり, 平成20年度は雪江はおもに局所理論について研究した. 具体的には一般変数の2次形式の空間の場合に密度定理を証明した. これは早坂との共同研究である. 2次形式に対し直交群が定義できるが, 2次形式の軌道から直交群の基礎体上の同型類の集合への写像は単射になる. この直交群に対して非正規玉河数というものを定義できる. これはおおざっぱにいうと, 基本領域の体積である.
早坂との共著論文において, この非正規玉河数の密度を決定した. そのオーダーは変数の数が奇数の場合と偶数の場合においては異なる. 変数の数をnとすると, nが偶数のときには密度はX^{n+1/2}のオーダーになり, nが奇数のときには最近Kableによって証明されたTauber型定理の拡張を用いるとX^{n+1/2}/\sqart{\log X}のオーダーであるということを証明した.
この結果は概均質ベクトル空間による密度定理で安定化群がトーラスでない場合としては初めての結果である. またこの仕事でJordan分解の概念を用いたが, この概念を拡張できることに気がついたので, 現在これについて研究中である.
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